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Wiki-Quellcode von Lösung Zaun

Version 27.1 von akukin am 2024/01/18 12:53
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1 [[image:Schafweide.png||width="280" style="float: right"]]
2
3 **Hauptbedingung**:
4 {{formula}}A= x \cdot y{{/formula}}
5
6 **Nebenbedingung:**
7
8 {{formula}}
9 \begin{align*}
10 2x+y &= 110 \quad \mid -2x\\
11 \Leftrightarrow y &= 110-2x \\
12 \end{align*}
13 {{/formula}}
14
15 Einsetzen von {{formula}}y= 110-2x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert die **Zielfunktion**
16 {{formula}}A(x)=x\cdot (110-2x)=-2x^2+110x{{/formula}}
17
18 mit {{formula}}A'(x)=-4x+110{{/formula}}
19
20 Gleichsetzen der ersten Ableitung mit Null liefert
21
22 {{formula}}
23 \begin{align*}
24 A'(x) &= 0 \\
25 \Leftrightarrow \quad -4x+110 &= 0 \quad \mid -110 \\
26 \Leftrightarrow \qquad \qquad -4x &=-110 \quad \mid :(-4) \\
27 \Leftrightarrow \quad \qquad x &= 27,5
28 \end{align*}
29 {{/formula}}
30
31 Da {{formula}}A''(x)=-4 < 0{{/formula}}, liegt ein Maximum vor.
32
33 Es ist {{formula}}A(27,5)=1512,5 \text{m}^2{{/formula}}.
34 An den Rändern des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0,110]{{/formula}} gilt {{formula}}A(0)=0{{/formula}} und {{formula}}A(110)=0{{/formula}}. Damit liegt bei {{formula}}x=27,5{{/formula}} ein globales Maximum vor.
35
36 Einsetzen in die NB: {{formula}}y=100-2\cdot 27,5=55{{/formula}}.
37
38 Somit ist der Flächenhalt maximal für die Seitenlängen {{formula}}x=27,5 \text{m}{{/formula}} und {{formula}}y=55 \text{m}{{/formula}}.