Änderungen von Dokument Lösung Doppelpyramide

Zusammenfassung

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  • Skizzedoppelpyramide.PNG
  • Skizzedoppelpyramide.png
  • Skizzewinkel.PNG

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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6	6	3. {{formula}}\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right) =r \cdot \overrightarrow{BC} + s \cdot \overrightarrow{BT}= r \cdot \left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ -5 \\ -12 \end{array}\right) {{/formula}} liefert {{formula}}x= -10r-5s, y= -5s{{/formula}} und {{formula}}z=-12s{{/formula}}. Damit ergibt sich {{formula}}12y-5z=0{{/formula}}.
7	7	(Alternativ kann man, um von der Parameterform auf die Koordinatenform zu kommen, das Skalarprodukt der beiden Spannvektoren berechnen und einen Punkt der Ebene/Stützpunkt einsetzen.)
8	8
9		-4. Sei {{formula}}M{{/formula}} der Mittelpunkt der Fläche {{formula}}ABCD{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{BC}{{/formula}}. Aus der Skizze ergibt sich die Beziehung {{formula}}\tan(\varphi)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= = \frac{\frac{1}{2}\cdot |\overline{ST}|}{\frac{1}{2}\cdot |\overline{AB}|} = \frac{12}{5} \Leftrightarrow \varphi= \tan^{-1}\Bigl(\frac{12}{5}\Bigl) \approx 67,4 \text{°}{{/formula}}
	9	+4.Sei {{formula}}M{{/formula}} der Mittelpunkt der Fläche {{formula}}ABCD{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{BC}{{/formula}}. Aus den Skizzen ergibt sich die Beziehung {{formula}}\tan(\varphi)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= \frac{\overline{TM}}{\overline{MK}}= \frac{\frac{1}{2}\cdot |\overline{ST}|}{\frac{1}{2}\cdot |\overline{AB}|} = \frac{12}{5} \Leftrightarrow \varphi= \tan^{-1}\Bigl(\frac{12}{5}\Bigl) \approx 67,4 \text{°}{{/formula}}
10	10
	11	+[[image:Winkelpyramide.jpg||width="120" style="float:left"]][[image:Skizzewinkel.PNG||width="220" style="float:left"]]
	12	+
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	26	+
	27	+
	28	+
	29	+
	30	+
11	11	5. Für {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} gilt: {{formula}}k\cdot 5-5 \cdot 12 = 5k-60{{/formula}}. Somit ist die Ebenengleichung erfüllt und die Kante {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} liegt auf dieser Geraden.
12	12
13	13	6. {{formula}}k \cdot 0 -5z= 5k-60 \Leftrightarrow z=12-k{{/formula}}, d.h. {{formula}}E_k{{/formula}} schneidet die z-Achse im Punkt {{formula}}(0|0|12-k){{/formula}}. Damit ergibt sich {{formula}}-12 \leq k \leq 0{{/formula}}.
14	14
15	15	7. Da sich {{formula}}F{{/formula}} durch Spiegelungen an der xz-Ebene aus {{formula}}E{{/formula}} ergibt, ist {{formula}}\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -12 \\ -5 \end{array}\right){{/formula}} ein Normalenvektor von {{formula}}F{{/formula}}.
16		-{{formula}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ k \\ -5 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 0 \\ -12 \\ -5 \end{array}\right)=k \cdot (-12)+ (-5)\cdot (-5)= 0 \Leftrightarrow k= \frac{25}{12}{{/formula}}
	36	+Um die Werte von {{formula}}k{{/formula}} zu bestimmen, für die {{formula}}E_k{{/formula}} senkrecht zu {{formula}}F{{/formula}} steht, gilt zu überprüfen, für welche {{formula}}k{{/formula}} die Normalenvektoren der beiden Ebenen senkrecht zu einander stehen (d.h., für welche {{formula}}k{{/formula}} deren Skalarprodukt 0 ist):{{formula}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ k \\ -5 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 0 \\ -12 \\ -5 \end{array}\right)=k \cdot (-12)+ (-5)\cdot (-5)= 0 \Leftrightarrow k= \frac{25}{12}{{/formula}}
17	17
18	18	8.
19		-[[image:Skizzedoppelpyramide.PNG||width="200" style="float: left"]]
	39	+[[image:Skizzedoppelpyramide.png||width="300" style="float: left"]]
20	20
21		-Aus der Skizze ergibt sich {{formula}}y_{S'}= 24 \cdot \cos(90\text{°}-\varphi)\approx 22,2{{/formula}}
22	22
	42	+Aus der Skizze ergibt sich für das grüne Dreieck die Beziehung {{formula}}\cos(90\text{°}-\varphi) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{y_{S'}}{24} \Leftrightarrow y_{S'}= 24 \cdot \cos(90\text{°}-\varphi)\approx 22,2{{/formula}}
23	23
	44	+//(Den Winkel {{formula}}90\text{°}-\varphi{{/formula}} erhält man, indem man das kleine (schwarze) Dreieck betrachtet. Für dessen Winkelsumme gilt {{formula}}180 \text{°}=90\text{°}+\varphi + \alpha{{/formula}}, wobei {{formula}}\alpha{{/formula}} unser gesuchter Winkel ist. Es ergibt sich somit {{formula}}\alpha = 180 \text{°}-90\text{°}-\varphi = 90\text{°}-\varphi{{/formula}}.)//

Skizzedoppelpyramide.PNG

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