Zum Inhalt springen

Wiki-Quellcode von Lösung Doppelpyramide

Zuletzt geändert von akukin am 2024/02/02 12:41
Zeige letzte Bearbeiter
1 1. {{formula}}\overrightarrow{AB}= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}\right), \overrightarrow{BC}= \left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}}.
2 Somit ist {{formula}}|\overrightarrow{AB}|= |\overrightarrow{BC}|=10{{/formula}} und das Dreieck ist gleichschenklig.
3 1. Wegen {{formula}}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} schließen die Strecken {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} einen rechten Winkel ein.
4 Für den Punkt {{formula}}D(-5|-5|12){{/formula}}, der sich durch geometrische Überlegungen ergibt, gilt ebenfalls {{formula}}\overrightarrow{CD} \circ \overrightarrow{DA}=0{{/formula}}. Somit ist {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Quadrat.
5
6 3. {{formula}}\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right) =r \cdot \overrightarrow{BC} + s \cdot \overrightarrow{BT}= r \cdot \left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ -5 \\ -12 \end{array}\right) {{/formula}} liefert {{formula}}x= -10r-5s, y= -5s{{/formula}} und {{formula}}z=-12s{{/formula}}. Damit ergibt sich {{formula}}12y-5z=0{{/formula}}.
7 (Alternativ kann man, um von der Parameterform auf die Koordinatenform zu kommen, das Skalarprodukt der beiden Spannvektoren berechnen und einen Punkt der Ebene/Stützpunkt einsetzen.)
8
9 4.Sei {{formula}}M{{/formula}} der Mittelpunkt der Fläche {{formula}}ABCD{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{BC}{{/formula}}. Aus den Skizzen ergibt sich die Beziehung {{formula}}\tan(\varphi)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= \frac{\overline{TM}}{\overline{MK}}= \frac{\frac{1}{2}\cdot |\overline{ST}|}{\frac{1}{2}\cdot |\overline{AB}|} = \frac{12}{5} \Leftrightarrow \varphi= \tan^{-1}\Bigl(\frac{12}{5}\Bigl) \approx 67,4 \text{°}{{/formula}}
10
11 [[image:Winkelpyramide.jpg||width="120" style="float:left"]][[image:Skizzewinkel.PNG||width="220" style="float:left"]]
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31 5. Für {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} gilt: {{formula}}k\cdot 5-5 \cdot 12 = 5k-60{{/formula}}. Somit ist die Ebenengleichung erfüllt und die Kante {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} liegt auf dieser Geraden.
32
33 6. {{formula}}k \cdot 0 -5z= 5k-60 \Leftrightarrow z=12-k{{/formula}}, d.h. {{formula}}E_k{{/formula}} schneidet die z-Achse im Punkt {{formula}}(0|0|12-k){{/formula}}. Damit ergibt sich {{formula}}-12 \leq k \leq 0{{/formula}}.
34
35 7. Da sich {{formula}}F{{/formula}} durch Spiegelungen an der xz-Ebene aus {{formula}}E{{/formula}} ergibt, ist {{formula}}\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -12 \\ -5 \end{array}\right){{/formula}} ein Normalenvektor von {{formula}}F{{/formula}}.
36 Um die Werte von {{formula}}k{{/formula}} zu bestimmen, für die {{formula}}E_k{{/formula}} senkrecht zu {{formula}}F{{/formula}} steht, gilt zu überprüfen, für welche {{formula}}k{{/formula}} die Normalenvektoren der beiden Ebenen senkrecht zu einander stehen (d.h., für welche {{formula}}k{{/formula}} deren Skalarprodukt 0 ist):{{formula}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ k \\ -5 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 0 \\ -12 \\ -5 \end{array}\right)=k \cdot (-12)+ (-5)\cdot (-5)= 0 \Leftrightarrow k= \frac{25}{12}{{/formula}}
37
38 8.
39 [[image:Skizzedoppelpyramide.png||width="300" style="float: left"]]
40
41
42 Aus der Skizze ergibt sich für das grüne Dreieck die Beziehung {{formula}}\cos(90\text{°}-\varphi) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{y_{S'}}{24} \Leftrightarrow y_{S'}= 24 \cdot \cos(90\text{°}-\varphi)\approx 22,2{{/formula}}
43
44 //(Den Winkel {{formula}}90\text{°}-\varphi{{/formula}} erhält man, indem man das kleine (schwarze) Dreieck betrachtet. Für dessen Winkelsumme gilt {{formula}}180 \text{°}=90\text{°}+\varphi + \alpha{{/formula}}, wobei {{formula}}\alpha{{/formula}} unser gesuchter Winkel ist. Es ergibt sich somit {{formula}}\alpha = 180 \text{°}-90\text{°}-\varphi = 90\text{°}-\varphi{{/formula}}.)//