Wiki-Quellcode von Lösung Doppelpyramide
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | 1. {{formula}}\overrightarrow{AB}= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}\right), \overrightarrow{BC}= \left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}}. | ||
| 2 | Somit ist {{formula}}|\overrightarrow{AB}|= |\overrightarrow{BC}|=10{{/formula}} und das Dreieck ist gleichschenklig. | ||
| 3 | 1. Wegen {{formula}}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} schließen die Strecken {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} einen rechten Winkel ein. | ||
| 4 | Für den Punkt {{formula}}D(-5|-5|12){{/formula}}, der sich durch geometrische Überlegungen ergibt, gilt ebenfalls {{formula}}\overrightarrow{CD} \circ \overrightarrow{DA}=0{{/formula}}. Somit ist {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Quadrat. | ||
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| 6 | 3. {{formula}}\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right) =r \cdot \overrightarrow{BC} + s \cdot \overrightarrow{BT}= r \cdot \left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ -5 \\ -12 \end{array}\right) {{/formula}} liefert {{formula}}x= -10r-5s, y= -5s{{/formula}} und {{formula}}z=-12s{{/formula}}. Damit ergibt sich {{formula}}12y-5z=0{{/formula}}. | ||
| 7 | (Alternativ kann man, um von der Parameterform auf die Koordinatenform zu kommen, das Skalarprodukt der beiden Spannvektoren berechnen und einen Punkt der Ebene/Stützpunkt einsetzen.) | ||
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| 9 | 4. Sei {{formula}}M{{/formula}} der Mittelpunkt der Fläche {{formula}}ABCD{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{BC}{{/formula}}. Aus der Skizze ergibt sich die Beziehung {{formula}}\tan(\varphi)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= = \frac{\frac{1}{2}\cdot |\overline{ST}|}{\frac{1}{2}\cdot |\overline{AB}|} = \frac{12}{5} \Leftrightarrow \varphi= \tan^{-1}\Bigl(\frac{12}{5}\Bigl) \approx 67,4 \text{°}{{/formula}} | ||
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| 11 | 5. Für {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} gilt: {{formula}}k\cdot 5-5 \cdot 12 = 5k-60{{/formula}}. Somit ist die Ebenengleichung erfüllt und die Kante {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} liegt auf dieser Geraden. | ||
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| 13 | 6. {{formula}}k \cdot 0 -5z= 5k-60 \Leftrightarrow z=12-k{{/formula}}, d.h. {{formula}}E_k{{/formula}} schneidet die z-Achse im Punkt {{formula}}(0|0|12-k){{/formula}}. Damit ergibt sich {{formula}}-12 \leq k \leq 0{{/formula}}. | ||
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| 15 | 7. Da sich {{formula}}F{{/formula}} durch Spiegelungen an der xz-Ebene aus {{formula}}E{{/formula}} ergibt, ist {{formula}}\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -12 \\ -5 \end{array}\right){{/formula}} ein Normalenvektor von {{formula}}F{{/formula}}. | ||
| 16 | {{formula}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ k \\ -5 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 0 \\ -12 \\ -5 \end{array}\right)=k \cdot (-12)+ (-5)\cdot (-5)= 0 \Leftrightarrow k= \frac{25}{12}{{/formula}} | ||
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| 18 | 8. | ||
| 19 | [[image:Skizzedoppelpyramide.PNG||width="200" style="float: left"]] | ||
| 20 | |||
| 21 | Aus der Skizze ergibt sich {{formula}}y_{S'}= 24 \cdot \cos(90\text{°}-\varphi)\approx 22,2{{/formula}} |