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Lösung Doppelpyramide

Version 3.1 von akukin am 2024/01/31 19:33
  1. \overrightarrow{AB}= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}\right), \overrightarrow{BC}= \left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right).
    Somit ist |\overrightarrow{AB}|= |\overrightarrow{BC}|=10 und das Dreieck ist gleichschenklig.
  2. Wegen \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC}=0 schließen die Strecken \overline{AB} und \overline{BC} einen rechten Winkel ein.
    Für den Punkt D(-5|-5|12), der sich durch geometrische Überlegungen ergibt, gilt ebenfalls \overrightarrow{CD} \circ \overrightarrow{DA}=0. Somit ist ABCD ein Quadrat.

3. \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right) =r \cdot \overrightarrow{BC} + s \cdot \overrightarrow{BT}= r \cdot \left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ -5 \\ -12 \end{array}\right)  liefert x= -10r-5s, y= -5s und z=-12s. Damit ergibt sich 12y-5z=0.
(Alternativ kann man, um von der Parameterform auf die Koordinatenform zu kommen, das Skalarprodukt der beiden Spannvektoren berechnen und einen Punkt der Ebene/Stützpunkt einsetzen.)

4. \tan(\varphi)= \frac{\frac{1}{2}\cdot |\overline{ST}|}{\frac{1}{2}\cdot |\overline{AB}|} = \frac{12}{5} \Leftrightarrow \varphi= \tan^{-1}\Bigl(\frac{12}{5}\Bigl) \approx 67,4 \text{°}

5. Für B und C gilt: k\cdot 5-5 \cdot 12 = 5k-60