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Wiki-Quellcode von Lösung Ebenenschar

Version 2.2 von akukin am 2024/10/01 00:11
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1 === Teilaufgabe 1 ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
7 Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung:
8 <br>
9 {{formula}}\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right){{/formula}}
10 <br>
11 Die Ebene verläuft parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden verläuft, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist:
12 <br>
13 {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}}
14 <br>
15 Für {{formula}}a=-2{{/formula}} stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und damit sind Ebene und Gerade parallel.
16 {{/detail}}
17
18 === Teilaufgabe 2 ===
19 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
20 {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} ergibt {{formula}}k=0,5{{/formula}}
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22 <br>
23 Das Gleichungssystem
24 <br>
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26 {{formula}}
27 \begin{align*}
28 &I: \ 2a &=3 \\
29 &II:\ a-2 &=0,5
30 \end{align*}
31 {{/formula}}
32
33 besitzt keine Lösung und damit gehört die Ebene nicht zur Schar.
34 {{/detail}}
35
36 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
37 Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein:
38 <br>
39 {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}}
40 <br>
41 Anhand der zweiten Zeile (der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten) erkennt man, das {{formula}}k=\frac{1}{2}{{/formula}} sein muss.
42 Setzt man diesen Wert für {{formula}}k{{/formula}} in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem
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44 <br>
45
46 {{formula}}
47 \begin{align*}
48 &I: \ 2a &=3 \\
49 &II:\ a-2 &=\frac{1}{2}
50 \end{align*}
51 {{/formula}}
52
53 Dieses LGS besitzt keine Lösung für {{formula}}a{{/formula}}. Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein.
54 {{/detail}}