Änderungen von Dokument Lösung Geraden zeichnen

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2		-[[image:eingezeichneteGeraden.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
3		-<br>
4		-{{formula}}\overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}{{/formula}}
5		-{{/detail}}
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7		-
8		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
9		-Betrachtet werden Geraden {{formula}}g,g^\ast{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}, für die gilt:
10		-<br>
11		-* {{formula}}g{{/formula}} verläuft durch {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g^\ast{{/formula}} durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} durch {{formula}}P{{/formula}}.
12		-* {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}g^\ast{{/formula}} schneiden sich in {{formula}}P{{/formula}}.
13		-* Wird {{formula}}g{{/formula}} an {{formula}}h{{/formula}} gespiegelt, so entsteht {{formula}}g^\ast{{/formula}}.
14		-<br>
15		-[[image:eingezeichneteGeraden.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
16		-Da sich {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}g^\ast{{/formula}} in {{formula}}P{{/formula}} schneiden und jeweils ein weiterer Punkt gegeben ist ({{formula}}A{{/formula}} liegt auf {{formula}}g{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} liegt auf {{formula}}g^\ast{{/formula}}), können diese beiden Geraden sofort eingezeichnet werden.
17		-<br>
18		-Da {{formula}}h{{/formula}} die Gerade sein soll, an der {{formula}}g{{/formula}} gespiegelt {{formula}}g^\ast{{/formula}} ergibt, muss {{formula}}h{{/formula}} eine Winkelhalbierende von {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}g^\ast{{/formula}} sein. (Die andere, um 90° gedrehte Winkelhalbierende wäre auch möglich.)
19		-<br>
20		-<br>
21		-Mit dem Spiegelpunkt {{formula}}B^\prime{{/formula}}, der entsteht, wenn {{formula}}B{{/formula}} an {{formula}}h{{/formula}} gespiegelt wird, ergeben {{formula}}B,P,B^\prime{{/formula}} und ein weiterer Punkt auf {{formula}}h{{/formula}} eine Raute, deren Diagonale auf {{formula}}h{{/formula}} liegt. Addiert man die Vektoren {{formula}}\overrightarrow{PB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}}, erhält man also einen Vektor, mit dem man von {{formula}}P{{/formula}} entlang {{formula}}h{{/formula}} zu einem weiteren Punkt auf {{formula}}h{{/formula}} kommt.
22		-[[image:Geradenmitspiegelpunkt.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
23		-Obwohl {{formula}}B^\prime{{/formula}} nicht zur Verfügung steht, kann {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}} mit Hilfe von {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} ausgedrückt werden, denn beide Vektoren zeigen in dieselbe Richtung, haben jedoch unterschiedliche Längen (Beträge). Mit Hilfe der Beträge {{formula}}\left|\overrightarrow{AP}\right|{{/formula}} und {{formula}}\left|\overrightarrow{PB}\right|{{/formula}} kann {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} jedoch derart verkürzt werden, sodass {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}} entsteht. Dazu wird {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} zuerst auf die Länge 1 skaliert, indem er durch seinen eigenen Betrag geteilt wird. Mit anderen Worten: Es wird der Einheitsvektor von {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} gebildet:
24		-<br>
25		-{{formula}}\frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}{{/formula}}
26		-<br>
27		-Im Anschluss wird dieser Einheitsvektor mit der Länge von {{formula}}\overrightarrow{PB}{{/formula}} multipliziert. ({{formula}}\overrightarrow{PB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}} haben ja denselben Betrag.)
28		-<br>
29		-{{formula}}\frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\left|\overrightarrow{PB}\right|{{/formula}}
30		-<br>
31		-Jetzt haben wir den gesuchten Verbindungsvektor, mit dem wir von {{formula}}P{{/formula}} entlang {{formula}}h{{/formula}} zu einem weiteren Punkt auf {{formula}}h{{/formula}} kommen. Der dazugehörige Ortsvektor des weiteren Punktes auf {{formula}}h{{/formula}} lautet:
32		-<br>
33		-{{formula}}\overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}{{/formula}}
34	34	{{/detail}}
35	35
36	36