Wiki-Quellcode von Lösung Geraden zeichnen
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 2 | [[image:eingezeichneteGeraden.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] | ||
| 3 | <br> | ||
| 4 | {{formula}}\overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}{{/formula}} | ||
| 5 | {{/detail}} | ||
| 6 | |||
| 7 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 8 | Betrachtet werden Geraden {{formula}}g,g^\ast{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}, für die gilt: | ||
| 9 | <br> | ||
| 10 | * {{formula}}g{{/formula}} verläuft durch {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g^\ast{{/formula}} durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} durch {{formula}}P{{/formula}}. | ||
| 11 | * {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}g^\ast{{/formula}} schneiden sich in {{formula}}P{{/formula}}. | ||
| 12 | * Wird {{formula}}g{{/formula}} an {{formula}}h{{/formula}} gespiegelt, so entsteht {{formula}}g^\ast{{/formula}}. | ||
| 13 | <br> | ||
| 14 | [[image:eingezeichneteGeraden.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] | ||
| 15 | Da sich {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}g^\ast{{/formula}} in {{formula}}P{{/formula}} schneiden und jeweils ein weiterer Punkt gegeben ist ({{formula}}A{{/formula}} liegt auf {{formula}}g{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} liegt auf {{formula}}g^\ast{{/formula}}), können diese beiden Geraden sofort eingezeichnet werden. | ||
| 16 | <br> | ||
| 17 | Da {{formula}}h{{/formula}} die Gerade sein soll, an der {{formula}}g{{/formula}} gespiegelt {{formula}}g^\ast{{/formula}} ergibt, muss {{formula}}h{{/formula}} eine Winkelhalbierende von {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}g^\ast{{/formula}} sein. (Die andere, um 90° gedrehte Winkelhalbierende wäre auch möglich.) | ||
| 18 | <br> | ||
| 19 | <br> | ||
| 20 | Mit dem Spiegelpunkt {{formula}}B^\prime{{/formula}}, der entsteht, wenn {{formula}}B{{/formula}} an {{formula}}h{{/formula}} gespiegelt wird, ergeben {{formula}}B,P,B^\prime{{/formula}} und ein weiterer Punkt auf {{formula}}h{{/formula}} eine Raute, deren Diagonale auf {{formula}}h{{/formula}} liegt. Addiert man die Vektoren {{formula}}\overrightarrow{PB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}}, erhält man also einen Vektor, mit dem man von {{formula}}P{{/formula}} entlang {{formula}}h{{/formula}} zu einem weiteren Punkt auf {{formula}}h{{/formula}} kommt. | ||
| 21 | [[image:Geradenmitspiegelpunkt.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] | ||
| 22 | Obwohl {{formula}}B^\prime{{/formula}} nicht zur Verfügung steht, kann {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}} mit Hilfe von {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} ausgedrückt werden, denn beide Vektoren zeigen in dieselbe Richtung, haben jedoch unterschiedliche Längen (Beträge). Mit Hilfe der Beträge {{formula}}\left|\overrightarrow{AP}\right|{{/formula}} und {{formula}}\left|\overrightarrow{PB}\right|{{/formula}} kann {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} jedoch derart verkürzt werden, sodass {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}} entsteht. Dazu wird {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} zuerst auf die Länge 1 skaliert, indem er durch seinen eigenen Betrag geteilt wird. Mit anderen Worten: Es wird der Einheitsvektor von {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} gebildet: | ||
| 23 | <br> | ||
| 24 | {{formula}}\frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}{{/formula}} | ||
| 25 | <br> | ||
| 26 | Im Anschluss wird dieser Einheitsvektor mit der Länge von {{formula}}\overrightarrow{PB}{{/formula}} multipliziert. ({{formula}}\overrightarrow{PB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}} haben ja denselben Betrag.) | ||
| 27 | <br> | ||
| 28 | {{formula}}\frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\left|\overrightarrow{PB}\right|{{/formula}} | ||
| 29 | <br> | ||
| 30 | Jetzt haben wir den gesuchten Verbindungsvektor, mit dem wir von {{formula}}P{{/formula}} entlang {{formula}}h{{/formula}} zu einem weiteren Punkt auf {{formula}}h{{/formula}} kommen. Der dazugehörige Ortsvektor des weiteren Punktes auf {{formula}}h{{/formula}} lautet: | ||
| 31 | <br> | ||
| 32 | {{formula}}\overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}{{/formula}} | ||
| 33 | {{/detail}} |