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Lösung Geradenlage und rechter Winkel

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/18 20:23

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont (offiziell) Es gibt keinen solchen Wert von t, da P und Q_t für alle t\in\mathbb{R} verschiedene z-Koordinaten haben.
Erläuterung (bildungsplankonforme Variante) Entscheide, ob die Gerade PQ parallel zur xy-Ebene verläuft. Begründe deine Entscheidung.

Wenn die Gerade PQ parallel zur xy-Ebene verlaufen würde, würden alle Punkte auf ihr dieselbe z-Koordinate haben. Das ist bei den Punkten P und Q jedoch nicht der Fall (und der Parameter t hat auch keinen Einfluss darauf).

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont (offiziell) \overrightarrow{Q_tO}\circ\overrightarrow{Q_tP}=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left(\begin{array}{c} -6 \\ -t \\ -20 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -4 \\ -t \\ 3 \end{array}\right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t^2-36=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t=-6 \ \vee \ t=6
Erläuterung (bildungsplankonforme Variante) Der Koordinatenursprung und die Punkte P und Q bilden ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei Q. Ermittle den Wert von t>0.

Wenn es bei Q einen rechten Winkel gibt, stehen die Vektoren \overrightarrow{QO} und \overrightarrow{QP} senkrecht aufeinander. Dann ist ihr Skalarprodukt null:
\overrightarrow{Q_tO}\circ\overrightarrow{Q_tP}=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left(\begin{array}{c} -6 \\ -t \\ -20 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -4 \\ -t \\ 3 \end{array}\right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t^2-36=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t=-6 \ \vee \ t=6
Da t>0 vorausgesetzt ist, muss t=6 sein.