Lösung Geradenlage und rechter Winkel

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/18 18:23

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont (offiziell) Es gibt keinen solchen Wert von \(t\), da \(P\) und \(Q_t\) für alle \(t\in\mathbb{R}\) verschiedene z-Koordinaten haben.
Erläuterung (bildungsplankonforme Variante) Entscheide, ob die Gerade \(PQ\) parallel zur xy-Ebene verläuft. Begründe deine Entscheidung.

Wenn die Gerade \(PQ\) parallel zur xy-Ebene verlaufen würde, würden alle Punkte auf ihr dieselbe z-Koordinate haben. Das ist bei den Punkten \(P\) und \(Q\) jedoch nicht der Fall (und der Parameter \(t\) hat auch keinen Einfluss darauf).

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont (offiziell) \(\overrightarrow{Q_tO}\circ\overrightarrow{Q_tP}=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left(\begin{array}{c} -6 \\ -t \\ -20 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -4 \\ -t \\ 3 \end{array}\right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t^2-36=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t=-6 \ \vee \ t=6\)
Erläuterung (bildungsplankonforme Variante) Der Koordinatenursprung und die Punkte \(P\) und \(Q\) bilden ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei \(Q\). Ermittle den Wert von \(t>0\).

Wenn es bei \(Q\) einen rechten Winkel gibt, stehen die Vektoren \(\overrightarrow{QO}\) und \(\overrightarrow{QP}\) senkrecht aufeinander. Dann ist ihr Skalarprodukt null:
\(\overrightarrow{Q_tO}\circ\overrightarrow{Q_tP}=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left(\begin{array}{c} -6 \\ -t \\ -20 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -4 \\ -t \\ 3 \end{array}\right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t^2-36=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t=-6 \ \vee \ t=6\)
Da \(t>0\) vorausgesetzt ist, muss \(t=6\) sein.