Lösung Geradenlage und rechter Winkel
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/18 18:23
Teilaufgabe 1
Erwartungshorizont (offiziell)
Es gibt keinen solchen Wert von \(t\), da \(P\) und \(Q_t\) für alle \(t\in\mathbb{R}\) verschiedene z-Koordinaten haben.Erläuterung (bildungsplankonforme Variante)
Entscheide, ob die Gerade \(PQ\) parallel zur xy-Ebene verläuft. Begründe deine Entscheidung.Wenn die Gerade \(PQ\) parallel zur xy-Ebene verlaufen würde, würden alle Punkte auf ihr dieselbe z-Koordinate haben. Das ist bei den Punkten \(P\) und \(Q\) jedoch nicht der Fall (und der Parameter \(t\) hat auch keinen Einfluss darauf).
Teilaufgabe 2
Erwartungshorizont (offiziell)
\(\overrightarrow{Q_tO}\circ\overrightarrow{Q_tP}=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left(\begin{array}{c} -6 \\ -t \\ -20 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -4 \\ -t \\ 3 \end{array}\right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t^2-36=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t=-6 \ \vee \ t=6\)Erläuterung (bildungsplankonforme Variante)
Der Koordinatenursprung und die Punkte \(P\) und \(Q\) bilden ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei \(Q\). Ermittle den Wert von \(t>0\).Wenn es bei \(Q\) einen rechten Winkel gibt, stehen die Vektoren \(\overrightarrow{QO}\) und \(\overrightarrow{QP}\) senkrecht aufeinander. Dann ist ihr Skalarprodukt null:
\(\overrightarrow{Q_tO}\circ\overrightarrow{Q_tP}=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left(\begin{array}{c} -6 \\ -t \\ -20 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -4 \\ -t \\ 3 \end{array}\right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t^2-36=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t=-6 \ \vee \ t=6\)
Da \(t>0\) vorausgesetzt ist, muss \(t=6\) sein.