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Lösung Quadrat Diagonale

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/19 13:20
Erwartungshorizont \left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right) liefert \lambda=2.
Schnittpunkt M der Diagonalen: M\left(3\left|4\right|0\right)
\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5
Flächeninhalt des Quadrats: 4\cdot\frac{1}{2}\cdot5^2=50
Erläuterung der Lösung Quadrateingezeichnet.png Da der Schnittpunkt der Diagonalen S_{12} in der x1x2-Ebene liegt, muss die x3-Koordinate null sein. Der gesuchte Punkt auf der Geraden kann also mit S_{12}\left(x_1\left|x_2\right|0\right) beschrieben werden.
Die Gleichung der Geraden ist g: \ \vec{x}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) mit \lambda\in\mathbb{R}.
Setzen wir diese mit dem Ortsvektor von S_{12} gleich, erhalten wir den Wert des Parameters \lambda und damit die beiden fehlenden Koordinaten von S_{12}:
\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right)
Da die x3-Koordinate null sein muss, ist \lambda=2. Setzt man \lambda=2 in die Geradengleichung ein \left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1+2\cdot 2 \\ 4+2\cdot 0 \\ -2+2\cdot 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3\\ 4 \\ 0 \end{array}\right)

erhält man S_{12}\left(3\left|4\right|0\right).

Die Fläche des Quadrats besteht aus vier gleichgroßen rechtwinkligen Dreiecken, deren Katheten jeweils die Länge \left|\overrightarrow{OS_{12}}\right| haben (die Hälfte der gleichlangen Diagonalen).

\left|\overrightarrow{OS_{12}}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5

Also ist der Flächeninhalt des Quadrats:
A_{\mathrm{Quadrat}}=4\cdot A_{\mathrm{Dreieck}}=4\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot5\cdot5\right)=50