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Lösung Rasenfläche

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 17:10
  1. Die Geradengleichung \(g\) lautet \(g: \left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \quad (\lambda \in \mathbb{R})\) und die Geradengleichung \(h\) vom Punkt \(B\) nach \(C\) \(h: \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right) \quad (\mu \in \mathbb{R})\).

Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen \(\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right)\) liefert folgendes Gleichungssystem:

\[\begin{align*} \text{I} \quad 12 \lambda + 6\mu &= 14,4 \\ \text{II} \quad 4 \lambda + 10 \mu &= 8 \\ \text{III} \quad \lambda + 0,5 \mu &=1,2 \end{align*}\]

\(5 \cdot \text{I} - 3 \cdot \text{II}\) liefert die Gleichung \(48 \lambda = 48 \Leftrightarrow \lambda = 1\)

Einsetzen von \(\lambda = 1\) in die Geradengleichung \(g\) liefert
\(\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 15,6 \\ 4 \\ 1,3 \end{array}\right)\)

Somit ergibt sich der Punkt \(Q = (15,6|4|1,3)\).

2. Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren der beiden Geraden ergibt sich durch

\[\begin{align*} \cos(\varphi) &= \frac{\left|\left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)\right|}{\sqrt{(-6)^2+10^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{12^2+(-4)^2+1^2}}= \frac{|(-6)\cdot 12+ 10 \cdot (-4)+ (-0,5)\cdot 1|}{\sqrt{36+100+0,25}\cdot \sqrt{144+16+1}}= \frac{|-112,5|}{\sqrt{136,25}\cdot \sqrt{161}}\\ \Leftrightarrow \varphi &= \cos^{-1}\Biggl(\frac{112,5}{\sqrt{136,25}\cdot \sqrt{161}}\Biggl) \approx 41 \text{°} \end{align*}\]

3.
Skizzerasenfläche.PNG
Mithilfe der Skizze ergibt sich der Zusammenhang \(|\overline{QS}|= \frac{0,2}{\sin(\varphi)}\approx \frac{0,2}{\sin(41\text{°})}\)
und damit \(\overrightarrow{OQ}-\frac{\left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)}{\sqrt{12^2+(-4)^2+1^2}} \cdot |\overline{QS}|= \left(\begin{array}{c} 15,6 \\ 4 \\ 1,3 \end{array}\right)- \frac{1}{\sqrt{161}}\cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \frac{0,2}{\sin(41\text{°})} \approx \left(\begin{array}{c} 15,3 \\ 4,1 \\ 1,3 \end{array}\right) \)

Somit ergibt sich für die Koordinaten des Punktes \(S(15,3|4,1|1,3)\).