Lösung Spiegelebene
1.Die Geraden sind nicht identisch, da ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind.
2. Die Ebene muss den Schnittpunkt der beiden Geraden \(S\left(1\left|1\right|1\right)\) enthalten.
Da beide Geraden parallel zur xy-Ebene verlaufen (die z-Koordinaten der beiden Richtungsvektoren sind null), muss die Spiegelebene senkrecht zur xy-Ebene stehen.
Da die beiden Richtungsvektoren gleich lang sind, erhält man für beliebige \(r\) und \(s\) mit \(r=s\) jeweils einen Punkt und seinen Spiegelpunkt. Für \(r=s=1\) sind das die Punkte \(P_g\left(2\left|3\right|1\right)\) und \(P_h\left(3\left|2\right|1\right)\). Der Mittelpunkt zwischen \(P_g\) und \(P_h\) ist \(M_1\left(2,5\left|2,5\right|1\right)\).
Die Winkelhalbierende der Geraden liegt in der Spiegelebene und hat die Gleichung:
\(w: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right); t \in \mathbb{R}\) (Für \(t=2,5\) zeigt \(\vec{x}\) auf \(M_1\).)
Der Richtungsvektor von \(w\) ist einer der beiden Spannvektoren der Spiegelebene.
Da der erste Spannvektor parallel zur xy-Ebene ist, die gesuchte Ebene jedoch senkrecht auf der xy-Ebene stehen muss, kann als zweiter Spannvektor der Einheitsvektor in z-Richtung verwendet werden.
Die gesuchte Ebenengleichung lautet: \(E:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\) mit \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)
Alternativer Lösungsweg:
Da die Richtungsvektoren von \(g\) und \(h\) gleich lang sind, ist die Summe der beiden ein Normalenvektoren einer passenden Spiegelebene:
\(\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)\)
Die gesuchte Ebene hat also eine Koordinatengleichung der Form: \(E:3x+3y=c\)
Da der Schnittpunkt \(S\left(1\left|1\right|1\right)\) der beiden Geraden ebenfalls in \(E\) liegt, ergibt sich:
\( E:3x+3y=6\) oder \(E:x+y=2\)