Wiki-Quellcode von Lösung Spiegelebene
Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/27 19:11
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| author | version | line-number | content |
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| 1 | 1.Die Geraden sind nicht identisch, da ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind. | ||
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| 3 | 2. Die Ebene muss den Schnittpunkt der beiden Geraden {{formula}}S\left(1\left|1\right|1\right){{/formula}} enthalten. | ||
| 4 | Da beide Geraden parallel zur xy-Ebene verlaufen (die z-Koordinaten der beiden Richtungsvektoren sind null), muss die Spiegelebene senkrecht zur xy-Ebene stehen. | ||
| 5 | Da die beiden Richtungsvektoren gleich lang sind, erhält man für beliebige {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}} mit {{formula}}r=s{{/formula}} jeweils einen Punkt und seinen Spiegelpunkt. Für {{formula}}r=s=1{{/formula}} sind das die Punkte {{formula}}P_g\left(2\left|3\right|1\right){{/formula}} und {{formula}}P_h\left(3\left|2\right|1\right){{/formula}}. Der Mittelpunkt zwischen {{formula}}P_g{{/formula}} und {{formula}}P_h{{/formula}} ist {{formula}}M_1\left(2,5\left|2,5\right|1\right){{/formula}}. | ||
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| 7 | Die Winkelhalbierende der Geraden liegt in der Spiegelebene und hat die Gleichung: | ||
| 8 | {{formula}}w: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right); t \in \mathbb{R}{{/formula}} (Für {{formula}}t=2,5{{/formula}} zeigt {{formula}}\vec{x}{{/formula}} auf {{formula}}M_1{{/formula}}.) | ||
| 9 | Der Richtungsvektor von {{formula}}w{{/formula}} ist einer der beiden Spannvektoren der Spiegelebene. | ||
| 10 | Da der erste Spannvektor parallel zur xy-Ebene ist, die gesuchte Ebene jedoch senkrecht auf der xy-Ebene stehen muss, kann als zweiter Spannvektor der Einheitsvektor in z-Richtung verwendet werden. | ||
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| 12 | Die gesuchte Ebenengleichung lautet: {{formula}}E:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}\lambda,\mu\in\mathbb{R}{{/formula}} | ||
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| 14 | **Alternativer Lösungsweg:** | ||
| 15 | Da die Richtungsvektoren von {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} gleich lang sind, ist die Summe der beiden ein Normalenvektoren einer passenden Spiegelebene: | ||
| 16 | {{formula}}\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}} | ||
| 17 | Die gesuchte Ebene hat also eine Koordinatengleichung der Form: {{formula}}E:3x+3y=c{{/formula}} | ||
| 18 | Da der Schnittpunkt {{formula}}S\left(1\left|1\right|1\right){{/formula}} der beiden Geraden ebenfalls in {{formula}}E{{/formula}} liegt, ergibt sich: | ||
| 19 | {{formula}} E:3x+3y=6{{/formula}} oder {{formula}}E:x+y=2{{/formula}} |