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BPE 16.2 Gegenseitige Lage von Geraden

Version 11.4 von Dirk Tebbe am 2026/04/28 14:00
Inhalt

K5 K1 Ich kann die gegenseitige Lage von Geraden untersuchen.
K5 Ich kann Koordinaten von Schnittpunkten und Schnittwinkel berechnen.
K5 K4 Ich kann Gleichungen von Geraden angeben, die gegebene Lagebeziehungen erfüllen.

Gegeben sind die drei Geraden:

\[g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\]
\[g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\]
\[g_3:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\]

Bestimme jeweils die gegenseiteige Lage von

  1. \(g_1\) und \(g_2\)
  2. \(g_1\) und \(g_3\)
  3. \(g_2\) und \(g_3\)

Berechne ggf. die Koordinaten des Schnittpunkts.

AFB I - K5Quelle Florian Timmermann

Gegeben sind die Geraden:

\[g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\]
\[g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\]

Berechne den Schnittwinkel.

AFB I - K5Quelle Frauke Beckstette

Gegeben ist die Gerade g durch:

\[g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\end{pmatrix}\]

Bestimme jeweils eine Gerade, die ..

  1. echt parallel zu g ist
  2. g orthogonal schneidet
  3. windschief zu g ist
AFB II - K5Quelle Holger Engels

Gegeben sind zwei Geraden g und h durch \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\ 8\\ -6\end{pmatrix}\) und \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0,1\\ 0,4\\ -0,3\end{pmatrix}\).

  1. Zeige: Die Gerade h ist parallel zu Gerade g.
  2. Weise rechnerisch nach, dass die Gerade h sich aus der Geraden g durch eine Verschiebung mit Vektor \(\vec{w}=\begin{pmatrix}2\\ 15\\ -11\end{pmatrix}\) ergibt.
AFB I - K1 K5Quelle Martin Stern, Dirk Tebbe

Gegeben sind die Punkte \(P(2 | 0 | 23)\) und \(Q_t(6 | t | 20)\) mit \(t \in \mathbb{R}\).

  1. Entscheiden Sie, ob es einen Wert von t gibt, für den die Gerade \(PQ_t\) parallel zur \(x_{12}\)-Ebene verläuft. Begründen Sie Ihre  Entscheidung.
  2. Der Koordinatenursprung und die Punkte P und Qt bilden ein Dreieck.
    Ermitteln Sie diejenigen Werte von t, für die das Dreieck in \(Q_t\) einen rechten Winkel hat.
AFB I - K1 K5Quelle Martin Stern, Dirk Tebbe