Änderungen von Dokument Lösung Drei Geraden

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -2,6 +2,7 @@
2	2	1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}:
3	3	Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvekotren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.
4	4
	5	+
5	5	Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zu einander sind oder sich schneiden:
6	6
7	7	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
...	...	@@ -19,6 +19,48 @@
19	19	Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}}: {{formula}}-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1{{/formula}}.
20	20	Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: {{formula}}4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1{{/formula}}.
21	21
22		-Also schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in eine der beiden Geradengleichungen:
	23	+Also schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in eine der beiden Geradengleichungen (zum Beispiel in {{formula}}g_1{{/formula}}):
23	23
24	24	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|1){{/formula}}.)))
	26	+1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
	27	+Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} sind Vielfache voneinander, da {{formula}}(-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}. Somit sind die Richtungsvektoren linear abhängig (kollinear) und die Geraden parallel.
	28	+
	29	+Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich, um zu prüfen, ob die Geraden identisch sind oder echt parallel verlaufen:
	30	+
	31	+{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\-1\end{pmatrix}{{/formula}}
	32	+
	33	+Wir erhalten dabei das Gleichungssystem:
	34	+{{formula}}
	35	+\begin{align*}
	36	+\text{I}: \ \ \quad 4-3s&=3t\\
	37	+\text{II}: \ -2+0s&=0\\
	38	+\text{III}:\qquad 1+s&=6-t
	39	+\end{align*}
	40	+{{/formula}}
	41	+
	42	+Bereits aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ergibt sich der Widerspruch {{formula}}-2 = 0{{/formula}}.
	43	+
	44	+Da das Gleichungssystem keine Lösung besitzt und die Richtungsvektoren kollinear sind, sind die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} echt parallel.)))
	45	+1. ((({{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
	46	+Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvektoren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.
	47	+
	48	+Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zueinander sind oder sich schneiden:
	49	+
	50	+{{formula}}\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}
	51	+
	52	+Wir erhalten dabei das Gleichungssystem:
	53	+{{formula}}
	54	+\begin{align*}
	55	+\text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\
	56	+\text{II}: \ 0+2s&=0\\
	57	+\text{III}:\ 2+0s&=6-t
	58	+\end{align*}
	59	+{{/formula}}
	60	+
	61	+Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0{{/formula}}.
	62	+Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4{{/formula}}.
	63	+
	64	+Einsetzen von {{formula}}s=0{{/formula}} und {{formula}}t=4{{/formula}} in die erste Gleichung:
	65	+{{formula}}6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12{{/formula}}.
	66	+
	67	+Dies ist ein Widerspruch. Da die Geraden weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} windschief zueinander.)))