Änderungen von Dokument Lösung Drei Geraden

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -2,7 +2,6 @@
2	2	1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}:
3	3	Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvekotren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.
4	4
5		-
6	6	Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zu einander sind oder sich schneiden:
7	7
8	8	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
...	...	@@ -20,48 +20,6 @@
20	20	Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}}: {{formula}}-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1{{/formula}}.
21	21	Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: {{formula}}4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1{{/formula}}.
22	22
23		-Also schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in eine der beiden Geradengleichungen (zum Beispiel in {{formula}}g_1{{/formula}}):
	22	+Also schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in eine der beiden Geradengleichungen:
24	24
25	25	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|1){{/formula}}.)))
26		-1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
27		-Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} sind Vielfache voneinander, da {{formula}}(-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}. Somit sind die Richtungsvektoren linear abhängig (kollinear) und die Geraden parallel.
28		-
29		-Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich, um zu prüfen, ob die Geraden identisch sind oder echt parallel verlaufen:
30		-
31		-{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\-1\end{pmatrix}{{/formula}}
32		-
33		-Wir erhalten dabei das Gleichungssystem:
34		-{{formula}}
35		-\begin{align*}
36		-\text{I}: \ \ \quad 4-3s&=3t\\
37		-\text{II}: \ -2+0s&=0\\
38		-\text{III}:\qquad 1+s&=6-t
39		-\end{align*}
40		-{{/formula}}
41		-
42		-Bereits aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ergibt sich der Widerspruch {{formula}}-2 = 0{{/formula}}.
43		-
44		-Da das Gleichungssystem keine Lösung besitzt und die Richtungsvektoren kollinear sind, sind die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} echt parallel.)))
45		-1. ((({{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
46		-Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvektoren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.
47		-
48		-Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zueinander sind oder sich schneiden:
49		-
50		-{{formula}}\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}
51		-
52		-Wir erhalten dabei das Gleichungssystem:
53		-{{formula}}
54		-\begin{align*}
55		-\text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\
56		-\text{II}: \ 0+2s&=0\\
57		-\text{III}:\ 2+0s&=6-t
58		-\end{align*}
59		-{{/formula}}
60		-
61		-Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0{{/formula}}.
62		-Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4{{/formula}}.
63		-
64		-Einsetzen von {{formula}}s=0{{/formula}} und {{formula}}t=4{{/formula}} in die erste Gleichung:
65		-{{formula}}6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12{{/formula}}.
66		-
67		-Dies ist ein Widerspruch. Da die Geraden weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} windschief zueinander.)))