Änderungen von Dokument BPE 16.3 Ebenen und Normalenvektoren

Zusammenfassung

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  • Ebenen.png

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,7 +1,79 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-[[Kompetenzen.K?]] Ich kann einen Normalenvektor ermitteln.
4		-[[Kompetenzen.K?]] Ich kann den Normalenvektor geometrisch als einen Vektor deuten, der zu zwei Spannvektoren einer Ebene orthogonal ist.
5		-[[Kompetenzen.K?]] Ich kann zur Beschreibung einer Ebene verschiedene Darstellungsformen nutzen.
6		-[[Kompetenzen.K?]] Ich kann Ebenengleichungen aus Punkten und Geraden ermitteln.
	3	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Normalenvektor ermitteln. {{niveau}}e{{/niveau}}
	4	+[[Kompetenzen.K6]] Ich kann den Normalenvektor geometrisch als einen Vektor deuten, der zu zwei Spannvektoren einer Ebene orthogonal ist. {{niveau}}e{{/niveau}}
	5	+[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann zur Beschreibung einer Ebene verschiedene Darstellungsformen nutzen. {{niveau}}e{{/niveau}}
	6	+Ich kann zur Beschreibung einer Ebene die Parameterform nutzen. {{niveau}}g{{/niveau}}
	7	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Ebenengleichungen aus Punkten und Geraden ermitteln.
7	7
	9	+{{aufgabe id="Normalenvektor" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" niveau=e zeit="4"}}
	10	+Gegeben sind die Vektoren {{formula}}\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 7\end{pmatrix}{{/formula}}.
	11	+Berechne die Koordinaten des Vektors {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, der senkrecht zu den Vektoren {{formula}}\vec{a}{{/formula}} und {{formula}}\vec{b}{{/formula}} steht und die Länge //1// hat.
	12	+{{/aufgabe}}
	13	+
	14	+{{aufgabe id="Normalenvektor Ebene" afb="I" kompetenzen="K1,K5" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="8"}}
	15	+Gegeben ist die Ebene {{formula}}E{{/formula}} in Parameterform:
	16	+
	17	+{{formula}}E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}{{/formula}}
	18	+
	19	+(%class=abc%)
	20	+1. Ermittle einen Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} für die Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
	21	+1. Zeige rechnerisch, dass der Normalenvektor zu den beiden Spannvektoren orthogonal ist.
	22	+1. Ein Mitschüler behauptet: "Mein Normalenvektor lautet {{formula}}\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}{{/formula}}. Ich habe bestimmt einen Fehler gemacht, da mein Vektor ganz anders aussieht als deiner." Nimm dazu Stellung.
	23	+{{/aufgabe}}
	24	+
	25	+{{aufgabe id="Koordinatenform Äquivalenzumformung" afb="I" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="2"}}
	26	+Wenn man bei der Ebenengleichung {{formula}}E: 2x_1-4x_2+6x_3=6{{/formula}} beide Seiten durch zwei teilt:
	27	+
	28	+{{formula}}F: x_1-2x_2+3x_3=3{{/formula}}
	29	+
	30	+Ist es dann noch die gleiche Ebene? Erläutere!
	31	+{{/aufgabe}}
	32	+
	33	+{{aufgabe id="Koordinatenform zwei Spurpunkte" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="2"}}
	34	+Eine Ebene hat nur die beiden Spurpunkte (3|0|0) und (0|4|0). Stelle eine Ebenengleichung in Koordinatenform auf!
	35	+{{/aufgabe}}
	36	+
	37	+{{aufgabe id="Aufstellen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="4"}}
	38	+Stelle jeweils eine Gleichung auf für eine Ebene, die ..
	39	+(%class=abc%)
	40	+1. parallel ist zu x,,1,,x,,2,,- Ebene
	41	+1. parallel ist zur Ebene {{formula}}E: 2x_1-4x_2+6x_3=6{{/formula}}
	42	+{{/aufgabe}}
	43	+
	44	+{{aufgabe id="Ebene aus Punkten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" zeit="6"}}
	45	+Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(1|3|1){{/formula}}, {{formula}}B(2|2|-4){{/formula}}, {{formula}}C(3|1|1){{/formula}} und {{formula}}D(4|0|1){{/formula}}.
	46	+Zeige, dass die vier Punkte auf einer gemeinsamen Ebene liegen.
	47	+{{/aufgabe}}
	48	+
	49	+{{aufgabe id="Ebene aus Schaubild" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" zeit="6"}}
	50	+In der Abbildung sind Ausschnitte von Ebenen dargestellt. Bestimme jeweils eine Parametergleichung.
	51	+[[image:Ebenen.png]]
	52	+{{/aufgabe}}
	53	+
	54	+{{aufgabe id="Ebene aus Geraden" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit=""}}
	55	+Gegeben sind ..
	56	+
	57	+(%class="abc horiz"%)
	58	+1. (((zwei parallele Geraden
	59	+{{formula}}g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}
	60	+)))
	61	+1. (((zwei sich schneidende Geraden
	62	+{{formula}}g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
	63	+)))
	64	+1. (((zwei windschiefe Geraden
	65	+{{formula}}g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
	66	+)))
	67	+
	68	+Bestimme, soweit möglich, jeweils die Gleichung einer Ebene, die die beiden Geraden enthält.
	69	+{{/aufgabe}}
	70	+
	71	+{{aufgabe id="Eigenschaften" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" zeit=""}}
	72	+Bestimme die Gleichung derjenigen Ebene, die gleichzeitig alle folgenden Eigenschaften erfüllt:
	73	+
	74	+* Sie verläuft durch {{formula}}P(1|-3|5){{/formula}}
	75	+* Ihre Spurpunkte mit der {{formula}}x_2{{/formula}} und {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse sind jeweils doppelt so weit vom Ursprung entfernt wie ihr Spurpunkt mit der {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse.
	76	+* Sie verläuft nicht durch den Koordinatenursprung.
	77	+{{/aufgabe}}
	78	+
	79	+{{seitenreflexion/}}

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Author

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	1	+XWiki.holgerengels

Größe

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	1	+40.5 KB

Inhalt