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Wiki-Quellcode von Lösung Eigenschaften

Zuletzt geändert von akukin am 2026/05/13 17:38
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1 Die Ebene verläuft durch die Punkte {{formula}}P(1 \mid -3 \mid 5){{/formula}}, {{formula}}S_1(a \mid 0 \mid 0){{/formula}}, {{formula}}S_2(0 \mid 2a \mid 0){{/formula}} und {{formula}}S_3(0 \mid 0 \mid 2a){{/formula}}, wobei {{formula}}a \neq 0{{/formula}} noch unbekannt ist. Wir setzen:
2
3 {{formula}}
4 E: \vec{x} = \overrightarrow{OP} + s \cdot \overrightarrow{PS_1} + t \cdot \overrightarrow{PS_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} a - 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2a + 3 \\ -5 \end{pmatrix}
5 {{/formula}}
6
7 Da auch {{formula}}S_3{{/formula}} in der Ebene enthalten sein muss, erhalten wir das (nichtlineare) Gleichungssystem:
8 {{formula}}
9 \begin{align*}
10 \text{I}: \ \ \qquad 1 + s(a - 1) - t &= 0 \\
11 \text{II}: \ -3 + 3s + t(2a + 3) &= 0 \\
12 \text{III}: \ \qquad \qquad 5 - 5s - 5t &= 2a
13 \end{align*}
14 {{/formula}}
15
16 Wir lösen {{formula}}\text{I}{{/formula}} nach {{formula}}t{{/formula}} auf: {{formula}}t = 1 + as - s{{/formula}}.
17
18 Wir setzen {{formula}}t = 1 + as - s{{/formula}} in {{formula}}\text{III}{{/formula}} ein:
19 {{formula}}
20 5 - 5s - 5(1 + as - s) = 2a \Rightarrow s = -\frac{2}{5} \Rightarrow t = \frac{7}{5} - \frac{2}{5}a
21 {{/formula}}.
22
23 Wir setzen {{formula}}s = -\frac{2}{5}, t= \frac{7}{5} - \frac{2}{5}a{{/formula}} in {{formula}}\text{II}{{/formula}} ein:
24 {{formula}}
25 -3 + 3 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) + \left(\frac{7}{5} - \frac{2}{5}a\right)(2a + 3) = 0 \Rightarrow \frac{4}{5}a(2 - a) = 0 \Rightarrow a = 2
26 {{/formula}}.
27
28 Somit ergibt sich für die Ebene {{formula}}E{{/formula}}:
29 {{formula}}
30 E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ -5 \end{pmatrix}
31 {{/formula}}