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Version 14.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/27 16:56
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Martina Wagner 8.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
Holger Engels 8.2 4 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
akukin 2.1 5
Dirk Tebbe 9.1 6 {{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8 {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
9 (%class=abc%)
Dirk Tebbe 12.2 10 1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
Dirk Tebbe 9.1 11 1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
12 {{/aufgabe}}
akukin 2.1 13
Martin Rathgeb 10.1 14 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
Martin Rathgeb 14.1 15 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
Martin Rathgeb 10.1 16
Martin Rathgeb 11.1 17 {{formula}}
18 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
19 {{/formula}}
20
Martin Rathgeb 10.1 21 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 11.1 22 1. (((
23 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
Martin Rathgeb 10.1 24
Martin Rathgeb 11.1 25 Zeige dazu:
26
Martin Rathgeb 10.1 27 {{formula}}
Martin Rathgeb 11.1 28 \{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
Martin Rathgeb 10.1 29 {{/formula}}
30
Martin Rathgeb 11.1 31 und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
Martin Rathgeb 10.1 32 )))
Martin Rathgeb 11.1 33 1. (((
34 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
35
Martin Rathgeb 10.1 36 {{formula}}
Martin Rathgeb 11.1 37 d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
Martin Rathgeb 10.1 38 {{/formula}}
39
Martin Rathgeb 11.1 40 Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 10.1 41 )))
Martin Rathgeb 11.1 42 1. (((
43 Untersuche die Gleichheitsfälle:
44
45 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
46 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
47
Martin Rathgeb 10.1 48 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
49 )))
Martin Rathgeb 11.1 50 1. (((
51 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
52
53 Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
54 )))
55 1. (((
56 Formuliere eine allgemeine Aussage:
57
Martin Rathgeb 10.1 58 {{formula}}
59 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
60 {{/formula}}
61
Martin Rathgeb 11.1 62 Erläutere diese Aussage geometrisch.
63 )))
Martin Rathgeb 10.1 64 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 13.1 65
66 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
67 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
68
69 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
70 Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
71 {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
72 beschrieben.
73 Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
74
75 (%class=abc%)
76 1. (((
77 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
78 Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
79
80 Markiere in deiner Skizze:
81 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
82 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
83 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
84 )))
85 1. (((
86 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
87 Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
88 )))
89 1. (((
90 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
91 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
92 )))
93 1. (((
94 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
95 )))
96 1. (((
97 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
98
99 Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100 )))
101 1. (((
102 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
103
104 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
105 )))
106 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 14.1 107
108 {{aufgabe id="Abstandsprobleme zurückführen" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109 Gegeben seien zwei Geraden
110
111 {{formula}}
112 g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
113 {{/formula}}
114
115 und
116
117 {{formula}}
118 g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
119 {{/formula}}
120
121 Die Geraden seien windschief, insbesondere gilt {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} ist kein Vielfaches von {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}}.
122
123 (%class=abc%)
124 1. (((
125 Beschreibe, weshalb der Abstand zweier windschiefer Geraden ein neues Abstandsproblem darstellt.
126
127 Vergleiche dazu mit den bereits bekannten Abstandsproblemen:
128 * Punkt – Punkt
129 * Punkt – Gerade
130 * Punkt – Ebene
131 )))
132 1. (((
133 Konstruiere eine Ebene {{formula}}E{{/formula}}, die die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zur Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
134
135 Gib diese Ebene in Parameterform an.
136 )))
137 1. (((
138 Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
139 )))
140 1. (((
141 Begründe die Rückführung
142
143 {{formula}}
144 d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
145 {{/formula}}
146
147 Erläutere geometrisch, warum sich der Abstand dabei nicht verändert.
148 )))
149 1. (((
150 Begründe anschließend die Rückführung
151
152 {{formula}}
153 d(g_2;E)=d(P_2;E).
154 {{/formula}}
155
156 Erkläre, warum ein beliebiger Punkt {{formula}}P_2{{/formula}} der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} genügt.
157 )))
158 1. (((
159 Formuliere die vollständige Rückführung:
160
161 {{formula}}
162 d(g_1;g_2)=d(P_2;E(P_1;\vec{u}_1;\vec{u}_2)).
163 {{/formula}}
164
165 Beschreibe in eigenen Worten die verwendete Problemlösestrategie.
166 )))
167 1. (((
168 Bestimme einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
169
170 Erkläre, wie sich der Abstand der windschiefen Geraden dadurch als Punkt-Ebene-Abstand berechnen lässt.
171 )))
172 {{/aufgabe}}