Änderungen von Dokument Lösung Abstand Punkt Punkt

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,14 +1,15 @@
1		-(% style="list-style: alphastyle" %)
	1	+{{lösung}}
	2	+(%class=abc%)
	3	+
2	2	1. (((
3		- {{formula}}
4		- \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
5		- {{/formula}}
	5	+ {{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1-1\5-3\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}
6	6
7		-{{formula}}
8		-d(P;Q)=\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}
9		-{{/formula}}
	7	+Damit gilt:
	8	+
	9	+{{formula}}d(P;Q)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}{{/formula}}.
10	10	)))
11		-1. (((**Statt einer Skizze/Zeichnung:**
	11	+
	12	+1. (((
12	12	Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von {{formula}}P{{/formula}} sind zum Beispiel
13	13
14	14	{{formula}}A(1|1|5){{/formula}}, {{formula}}B(3|3|5){{/formula}} und {{formula}}C(1|3|7){{/formula}}.
...	...	@@ -15,56 +15,62 @@
15	15
16	16	Denn jeweils gilt:
17	17
18		-{{formula}}
19		-d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}
20		-{{/formula}}
	19	+{{formula}}d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
21	21
22	22	Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um {{formula}}P{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}}.
23	23	)))
	23	+
24	24	1. (((
25	25	Alle Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}, liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und Radius
26	26
27		-{{formula}}r=2\sqrt{2}{{/formula}}.
	27	+{{formula}}r=d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
28	28
29	29	Alle Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt {{formula}}P{{/formula}} und Radius
30	30
31	31	{{formula}}2r=4\sqrt{2}{{/formula}}.
32	32	)))
	33	+
33	33	1. (((
34		- Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
	35	+ Die Aussage des Mitschülers ist nicht für alle Werte von {{formula}}r{{/formula}} korrekt, weil ein Abstand nicht negativ sein kann.
35	35
36		-{{formula}}
37		-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix},\quad
38		-\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
39		-{{/formula}}
	37	+Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
40	40
41		-{{formula}}
42		-\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}
43		-=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
44		-=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}
45		-{{/formula}}
	39	+{{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}{{/formula}}
46	46
	41	+mit
	42	+
	43	+{{formula}}\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}{{/formula}}
	44	+und
	45	+{{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}.
	46	+
	47	+Also:
	48	+
	49	+{{formula}}\overrightarrow{OK}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}
	50	+=\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}{{/formula}}.
	51	+
47	47	Damit ist
48	48
49	49	{{formula}}K(1|-1|9){{/formula}}.
50	50
51		-{{formula}}
52		-\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
53		-=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}
54		-=\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}
55		-{{/formula}}
	56	+Weiter gilt:
56	56
57		-{{formula}}
58		-d(P;K)=\left|\overrightarrow{PK}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}
59		-{{/formula}}
	58	+{{formula}}\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
	59	+=\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}
	60	+=\begin{pmatrix}0\-4\4\end{pmatrix}{{/formula}}.
60	60
	62	+Also:
	63	+
	64	+{{formula}}d(P;K)=|\overrightarrow{PK}|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}{{/formula}}.
	65	+
61	61	Da {{formula}}d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}} ist, gilt
62	62
63	63	{{formula}}d(P;K)=2\cdot d(P;Q){{/formula}}.
64	64
65		-Die Aussage ist in dieser Form nicht korrekt, da Abstände nicht negativ sind.
	70	+Korrekt lautet die Aussage daher:
66	66
67		-Korrekt lautet:
68		-
69	69	{{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
	73	+
	74	+Für positive Werte von {{formula}}r{{/formula}} stimmt die Aussage des Mitschülers; für negative Werte muss der Betrag von {{formula}}r{{/formula}} verwendet werden.
70	70	)))
	76	+{{/lösung}}
	77	+