Lösung Abstand Punkt Punkt
\( \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix} \)
\[d(P;Q)=\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}\]
Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von \(P\) sind zum Beispiel
\(A(1|1|5)\), \(B(3|3|5)\) und \(C(1|3|7)\).
Denn jeweils gilt:
\[d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}\]Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um \(P\) mit dem Radius \(2\sqrt{2}\).
Alle Punkte, die von \(P\) denselben Abstand haben wie \(Q\), liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt \(P(1|3|5)\) und Radius
\(r=2\sqrt{2}\).
Alle Punkte, deren Abstand von \(P\) doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt \(P\) und Radius
\(2r=4\sqrt{2}\).
Für \(r=-2\) gilt:
\[\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}\]\[\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ} =\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}\]Damit ist
\(K(1|-1|9)\).
\[\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP} =\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\-4\4\end{pmatrix}\]\[d(P;K)=\left|\overrightarrow{PK}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}\]Da \(d(P;Q)=2\sqrt{2}\) ist, gilt
\(d(P;K)=2\cdot d(P;Q)\).
Die Aussage ist in dieser Form nicht korrekt, da Abstände nicht negativ sind.
Korrekt lautet:
\(d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q)\).