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Wiki-Quellcode von Lösung Quader durch Punkte

Version 4.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:54
Verstecke letzte Bearbeiter
Martin Rathgeb 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 Die Punkte haben die Koordinaten
4
5 {{formula}}
6 A(2|1|2),\quad B(-1|2|0),\quad C_1(4|2|-5).
7 {{/formula}}
8
9 Zum Zeichnen trägt man die Punkte vom Koordinatenursprung aus ein. Dabei gilt:
10 * {{formula}}A{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}-, {{formula}}x_2{{/formula}}- und {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
11 * {{formula}}B{{/formula}} liegt in negativer {{formula}}x_1{{/formula}}-Richtung, positiver {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung und auf der Ebene {{formula}}x_3=0{{/formula}}.
12 * {{formula}}C_1{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung, aber in negativer {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
Martin Rathgeb 3.1 13
Martin Rathgeb 1.1 14 )))
15 1. (((
16 Die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} werden als Endpunkte der Ortsvektoren
17
18 {{formula}}
19 \vec{a}=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad
20 \vec{b}=\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad
21 \vec{c}_t=\overrightarrow{OC_t}=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
22 {{/formula}}
23
24 aufgefasst. Ein Quader entsteht, wenn die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen.
25
26 Dazu berechnet man die Skalarprodukte:
27
28 {{formula}}
29 \vec{a}\cdot\vec{b}
30 =
31 2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0
32 =
33 -2+2+0
34 =
35 0.
36 {{/formula}}
37
38 {{formula}}
39 \vec{a}\cdot\vec{c}_t
40 =
41 2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t)
42 =
43 8t+2t-10t
44 =
45 0.
46 {{/formula}}
47
48 {{formula}}
49 \vec{b}\cdot\vec{c}_t
50 =
51 (-1)\cdot4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t)
52 =
53 -4t+4t+0
54 =
55 0.
56 {{/formula}}
57
58 Damit stehen die drei Vektoren {{formula}}\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t{{/formula}} paarweise senkrecht zueinander. Da außerdem {{formula}}t>0{{/formula}} gilt, ist {{formula}}\vec{c}_t{{/formula}} kein Nullvektor. Die Punkte {{formula}}O,\ A,\ B,\ C_t{{/formula}} sind also drei von einem Eckpunkt ausgehende Kanten eines Quaders.
Martin Rathgeb 3.1 59
Martin Rathgeb 1.1 60 )))
Martin Rathgeb 4.1 61 1. (((Die weiteren Eckpunkte des Quaders erhält man durch Addition der Kantenvektoren, wobei für {{formula}}t=1{{/formula}} gilt {{formula}}\vec{c}_1=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}{{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 62
Martin Rathgeb 4.1 63 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}A{{/formula}} entsteht durch
Martin Rathgeb 1.1 64 {{formula}}
65 \overrightarrow{OA'}=\vec{b}+\vec{c}_1
66 =
67 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
68 +
69 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
70 =
71 \begin{pmatrix}3\\4\\-5\end{pmatrix}.
72 {{/formula}}
Martin Rathgeb 4.1 73 Also gilt: {{formula}}A'(3|4|-5){{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 74
Martin Rathgeb 4.1 75 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}B{{/formula}} entsteht durch
Martin Rathgeb 1.1 76 {{formula}}
77 \overrightarrow{OB'}=\vec{a}+\vec{c}_1
78 =
79 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
80 +
81 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
82 =
83 \begin{pmatrix}6\\3\\-3\end{pmatrix}.
84 {{/formula}}
Martin Rathgeb 4.1 85 Also gilt: {{formula}}B'(6|3|-3){{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 86
Martin Rathgeb 4.1 87 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}C_1{{/formula}} entsteht durch
Martin Rathgeb 1.1 88 {{formula}}
89 \overrightarrow{OC_1'}=\vec{a}+\vec{b}
90 =
91 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
92 +
93 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
94 =
95 \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}.
96 {{/formula}}
Martin Rathgeb 4.1 97 Also gilt: {{formula}}C_1'(1|3|2){{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 98
Martin Rathgeb 4.1 99 * Der Punkt gegenüber vom Ursprung {{formula}}O{{/formula}} entsteht durch Addition aller drei Kantenvektoren:
Martin Rathgeb 1.1 100 {{formula}}
101 \overrightarrow{OO'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}_1
102 =
103 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
104 +
105 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
106 +
107 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
108 =
109 \begin{pmatrix}5\\5\\-3\end{pmatrix}.
110 {{/formula}}
Martin Rathgeb 4.1 111 Also gilt: {{formula}}O'(5|5|-3){{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 112
113 )))
114 1. (((
115 Da die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen, ergibt sich das Volumen des Quaders als Produkt der drei Kantenlängen:
116
117 {{formula}}
118 V=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_1|.
119 {{/formula}}
120
121 Es gilt
122
123 {{formula}}
124 |\vec{a}|
125 =
126 \sqrt{2^2+1^2+2^2}
127 =
128 \sqrt{9}
129 =
130 3,
131 {{/formula}}
132
133 {{formula}}
134 |\vec{b}|
135 =
136 \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}
137 =
138 \sqrt{5},
139 {{/formula}}
140
141 und
142
143 {{formula}}
144 |\vec{c}_1|
145 =
146 \sqrt{4^2+2^2+(-5)^2}
147 =
148 \sqrt{45}
149 =
150 3\sqrt{5}.
151 {{/formula}}
152
153 Damit erhält man
154
155 {{formula}}
156 V
157 =
158 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}
159 =
160 45.
161 {{/formula}}
162
163 Der Quader besitzt für {{formula}}t=1{{/formula}} also das Volumen {{formula}}45{{/formula}}.
Martin Rathgeb 3.1 164
Martin Rathgeb 1.1 165 )))
166 1. (((
167 Für allgemeines {{formula}}t>0{{/formula}} gilt
168
169 {{formula}}
170 \vec{c}_t
171 =
172 \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
173 =
174 t\cdot
175 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
176 {{/formula}}
177
178 Damit ist
179
180 {{formula}}
181 |\vec{c}_t|
182 =
183 t\cdot|\vec{c}_1|
184 =
185 3\sqrt{5}\,t.
186 {{/formula}}
187
188 Das Volumen des Quaders beträgt daher
189
190 {{formula}}
191 V(t)
192 =
193 |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_t|
194 =
195 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}\,t
196 =
197 45t.
198 {{/formula}}
199
200 Gesucht ist ein Wert von {{formula}}t{{/formula}} mit
201
202 {{formula}}
203 45t=15.
204 {{/formula}}
205
206 Daraus folgt
207
208 {{formula}}
209 t=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.
210 {{/formula}}
211
212 Da {{formula}}\frac{1}{3}>0{{/formula}} gilt, ist dieser Wert zulässig. Es gibt also genau einen solchen Wert, nämlich
213
214 {{formula}}
215 t=\frac{1}{3}.
216 {{/formula}}
217 )))