Zum Inhalt springen

Lösung Standseilbahn

Version 1.1 von Anna Kukin am 2026/05/27 18:50

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont Die Gleichung stellt den beschriebenen Streckenabschnitt dar.
Erläuterung der Lösung Betrachtet man die gegebene Gleichung, erkennt man, dass der Stützvektor dem Ortsvektor des Startpunkts \( A(-13|9|4) \) entspricht. Der Richtungsvektor entspricht dem Verbindungsvektor \( \overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix} -33 - (-13) \\ 69 - 9 \\ 34 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ 60 \\ 30 \end{pmatrix} \)

Die Gleichung beschreibt also die Gerade durch die Punkte \(A\) und \(E\). Die zusätzliche Einschränkung des Parameters \( \lambda \in [0;1] \) sorgt dafür, dass die Strecke beim Punkt \(A\) (für \( \lambda = 0 \)) beginnt und beim Punkt \(E\) (für \( \lambda = 1 \)) endet.

Die Gleichung stellt somit den beschriebenen Streckenabschnitt dar.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont \( |\overrightarrow{AE}| = \sqrt{20^2 + 60^2 + 30^2} = 70 \)
\(4+\frac{14}{70}=10\), d.h. die gesuchte Höhe beträgt 100 Meter.
Erläuterung der Lösung Die Länge der gesamten Strecke beträgt \( |\overrightarrow{AE}| = \sqrt{(-20)^2 + 60^2 + 30^2} = \sqrt{4900} = 70 \)

Die Seilbahn ist 140 Meter gefahren. Im Modell entspricht das einer Strecke von 14 Längeneinheiten. Die Seilbahn hat also \( 14 \ \text{LE} \) von den gesamten \( 70 \ \text{LE} \) zurückgelegt. Der Parameter \( \lambda \) beträgt somit \( \lambda = \frac{14}{70} \).

Die Höhe der Seilbahn entspricht der \( x_3 \)-Koordinate. Wir setzen also \( \lambda = \frac{14}{70} \) in die \( x_3 \)-Zeile der Geradengleichung ein und erhalten: \(x_3 = 4 + \frac{14}{70} \cdot 30= 4 + 6 = 10\)

Die Seilbahn befindet sich somit auf einer Höhe von 10 Längeneinheiten. Da eine Längeneinheit im Koordinatensystem 10 Metern in der Realität entspricht, beträgt die Höhe 100 Meter.