BPE 17.3 Baumdiagramm, Vierfeldertafel, Additionssatz und Bedingte Wahrscheinlichkeit

1  Hölzchen  (10 min) 𝕃

Tina hält in der Hand lange und kurze Hölzchen. Marc und Stefan ziehen zufällig abwechselnd je ein Hölzchen (ohne Zurücklegen). Sobald einer ein langes Hölzchen zieht, hat er gewonnen und darf mit Tina ausgehen.

1. Tina hat 3 kurze und 1 langes Hölzchen. Marc beginnt. Stefan glaubt, er sei im Nachteil, weil er erst als zweiter zieht. Untersuche, ob Stefan recht hat.
2. Am nächsten Tag wird das Spiel wiederholt. Tina möchte nun Marc begünstigen. Hanna rät ihr: „Nimm 3 lange und 2 kurze Hölzchen und lass Marc anfangen.“ Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass Tina mit Marc ausgeht.

2  Mogeln  (k.A.) 𝕃

In einer Urne sind 5 rote und 3 blaue Kugeln. Daniel bietet ein Spiel an: Dreimal zufällig ziehen mit Zurücklegen. Wer dreimal eine rote Kugel zieht, gewinnt. Larissa spielt, und es geht ehrlich zu. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.

Als Timo spielt, mogelt Daniel: Wenn Timo eine rote Kugel zieht, legt er statt der roten eine blaue Kugel in die Urne zurück. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.

3  Kugeln ziehen  (k.A.) 𝕃

In einer Urne sind 4 blaue, 3 rote und 5 grüne Kugeln. Es wird zufällig gezogen ohne Zurücklegen und die jeweilige Farbe notiert. Wenn eine blaue Kugel gezogen wird ist Schluß, spätestens jedoch, wenn dreimal gezogen wurde.

1. Gib einen möglichen Ergebnisraum an und skizziere das zugehörige Baumdiagramm.
2. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:

4  Nüsse  (k.A.) 𝕃

Vor vielen Jahren, als es noch keine Handyspiele gab, spielte man in der Weihnachtszeit beim Nüsse-Essen mit den Nussschalen.

Halbe Nussschalen wurden geworfen und bleiben so  ◡  oder so  ◠  liegen. Man hat immer zwei halbe Schalen geworfen.
Zwei Nussschalen  liegen  ◡ ◡  oder  ◠ ◠  oder eine  ◡  und die andere  ◠.
Der Fall  ◠ ◠  kam am seltensten vor. Aber die beiden anderen Fälle ( ◡ ◡  und verschiedene Lage) waren etwa gleich häufig.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine  halbe Nussschale in die Lage  ◡  fällt.

5  Formulierungen  (2 min) 𝕃

Unterstreiche mit Rot die Beschreibung des Ereignisses, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht wird und mit Grün das Ereignis, das schon eingetreten ist (Bedingung).

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer schwangeren Frau ein negatives Ergebnis zeigt?
2. Wie groß ist der Anteil der Technikstudierenden unter den Frauen?
3. Von den Besuchern über 25 Jahren geben 80% eine positives Feedback.

6  Rennen  (k.A.) 𝕃

Zu Beginn der Saison ist Rudi der stärkste Rennfahrer; seine Chance ein Rennen zu gewinnen liegt bei p = 0,6. Rudi nimmt in dieser Saison nur an 6 Rennen teil.
An wie vielen Rennen müsste Rudi mindestens teilnehmen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 99,9 % mindestens einen Sieg zu erringen?

7  TÜV  (k.A.) 𝕃

In einem Entwicklungsland werden beim TÜV lediglich die Bremsen und die Karosserie überprüft: Bei 82 % der untersuchten Wagen waren die Bremsen in Ordnung, bei 86 % war die Karosserie ohne Beanstandung. Bei 12 % der Fahrzeuge waren sowohl Bremsen als auch die Karosserie kaputt.
Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass
a) bei einem Wagen, bei dem die Karosserie defekt ist, auch die Bremsen kaputt sind?
b) bei einem Wagen mit defekten Bremsen die Karosserie ohne Beanstandungen bleibt?

8  Kugeln hinzufügen  (k.A.) 𝕃

In einer Schüssel sind 20 rote und 10 gelbe Kugeln. Es werden mit einem Zug zwei Kugeln gezogen.
Wie viele blaue Kugeln müssen dazugegeben werden, damit die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kugeln zu bekommen,
a) genau \(\frac{70}{183}\) ist?  b) höchstens 0,4 ist?  c) mindestens 0,5 ist?

9  Raucher  (k.A.) 𝕃

Unter den 2500 Mitarbeitern einer Firma sind 1600 Raucher. Von den 2000 Männern rauchen 1400.
Fülle die folgende Tabelle aus und berechne die fehlenden Zellen:

Berechne

1. den Anteil der Frauen an der Belegschaft,
2. den Anteil der Nichtraucher an der Belegschaft,
3. wie viel Prozent der Männer rauchen,
4. wie viel Prozent der Frauen rauchen

10  Stochastische Unabhängigkeit Mengen  (k.A.) 𝕃

In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist \(\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace \).

1. Zeige, dass die Ereignisse \(A=\lbrace 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\rbrace \) und \(B=\lbrace 1, 2, 4, 7, 9, 10, 14\rbrace \) stochastisch abhängig sind.
2. Gib ein weiteres von A stochastisch abhängiges Ereignis C und ein von A stochastisch unabhängiges Ereignis D an.

11  Stochastische Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeiten  (k.A.) 𝕃

In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist \(\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace \).

1. Gib ein Ereignis E an mit Wahrscheinlichkeit \(P(E)=\frac{1}{7}\).
2. Begründe, warum zwei Ereignisse F und G mit \(P(F)=P(G)=0{,}8\) stets stochastisch abhängig sind.

12  Marathonlauf  (k.A.) 𝕃

Von den Teilnehmern, die bei einem Marathonlauf nicht im Ziel angekommen sind, haben

• 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
• 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
• 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“
  den Lauf abgebrochen.

1. Berechne den Anteil derer, die den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
2. Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.

13  Glücksrad  (k.A.) 𝕃

Ein Glücksrad besteht aus zwei Sektoren, die mit den Zahlen 2 bzw. 3 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einmaligem Drehen die Zahl 2 erzielt wird, beträgt p. Bei einem Spiel dreht eine Person das Glücksrad genau so oft, bis die Summe der erzielten Zahlen 5, 6, oder 7 beträgt. Bei der Summe 6 gewinnt die Person, sonst verliert sie.

1. Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

2. Die beiden folgenden Ereignisse sind stochastisch unabhängig:
   E: „Beim ersten Drehen des Glücksrads wird die Zahl 2 erzielt.“
   G: „Die Person gewinnt das Spiel.“
   Ermittle eine Gleichung, die die Variable p enthält und die Berechnung des Werts von p ermöglicht.

14  Kugelbehälter  (k.A.) 𝕋  𝕃

Betrachtet werden drei Behälter A, B und C mit weißen und schwarzen Kugeln. Die Behälter sind von außen nicht unterscheidbar. Es gilt:

• Im Behälter A befinden sich dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln.
• Im Behälter B befinden sich 12 weiße und 4 schwarze Kugeln.
• Im Behälter C befinden sich 3 schwarze Kugeln und weiße Kugeln, deren Anzahl mit \(w\) bezeichnet wird.

Bei einem Spiel wird einer der drei Behälter zufällig ausgewählt und anschließend daraus eine Kugel zufällig gezogen. Ist bei diesem Spiel die gezogene Kugel schwarz, kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Behälter C ausgewählt wurde, mit dem Term

berechnet werden.

Weise dies nach und berechne \(w\), wenn die beschriebene Wahrscheinlichkeit den Wert \(\frac{1}{5}\) hat.