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Lösung Kugelbehälter

Version 1.1 von akukin am 2024/10/15 22:29
Erwartungshorizont C: „Der zufällig ausgewählte Behälter ist Behälter C.“
S: „Die zufällig entnommene Kugel ist schwarz.“
Aus
P_S\left(C\right)=\frac{1}{5},\ \ P_C\left(S\right)=\frac{3}{w+3},\ \ P_{\bar{C}}\left(S\right)=\frac{1}{4}
folgt
P_S\left(C\right)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}}

P_S\left(C\right)=\frac{1}{5}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 5\cdot\frac{1}{w+3}=\frac{1}{w+3}+\frac{1}{6}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 30=6+w+3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ w=21
Erläuterung der Lösung C: „Der zufällig ausgewählte Behälter ist Behälter C.“
S: „Die zufällig entnommene Kugel ist schwarz.“
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Behälter C gewählt wurde, wenn man schon weiß, dass eine schwarze Kugel gezogen wurde, ist laut Aufgabenstellung: P_S\left(C\right)=\frac{1}{5}
Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, wenn der Behälter C gewählt wurde, ist: P_C\left(S\right)=\frac{3}{w+3}
denn im Behälter C gibt es 3 schwarze Kugeln und w weiße Kugeln, also insgesamt w+3 Kugeln.
Da sich sowohl in Behälter A als auch in Behälter B dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln befinden, ist die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel, wenn Behälter A oder B gewählt wurde (das heißt wenn „Nicht C“ \overline{C} gewählt wurde): P_{\bar{C}}\left(S\right)=\frac{1}{4}

Generell gilt für zwei Ereignisse: P\left(S\right)\cdot P_S\left(C\right)=P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right)
(Beides ergibt P\left(C\cap S\right); der Baum kann ja einmal mit C und einmal mit S begonnen werden.)
Bringt man nun P\left(S\right) auf die rechte Seite P_S\left(C\right)=\frac{P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right)}{P\left(S\right)} und ersetzt P\left(S\right) durch P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right)+P\left(\bar{C}\right)\cdot P_{\bar{C}}\left(S\right) (denn diese zwei Pfade im Baumdiagramm ergeben tatsächlich P\left(S\right)), dann erhält man
P_S\left(C\right)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}}
was dem Term aus der Aufgabenstellung entspricht.
Zusätzlich ist gegeben, dass diese Wahrscheinlichkeit den Wert \frac{1}{5} annimmt. Setzen wir den obigen Term gleich \frac{1}{5}, dann können wir nach der gesuchten Anzahl weißer Kugeln in Behälter C auflösen:
P_S\left(C\right)=\frac{1}{5}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 5\cdot\frac{1}{w+3}=\frac{1}{w+3}+\frac{1}{6}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 30=6+w+3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ w=21