BPE 17.5 Zufallsgröße, Erwartungswert und Standardabweichung

Aufgabe 1  Kugeln mit negativen Zahlen (eAN) 𝕃

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die negative Zahl \(a\). Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

1. Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}\)  berechnet werden kann.
2. Die Zufallsgröße \(X\) gibt das Produkt der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von \(X\) ist 4. Bestimme den Wert von \(a\).

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Aufgabe 2  Zufallsgröße Tetraeder (eAN) 𝕋  𝕃

Betrachtet wird ein Tetraeder, bei dem die Seiten mit den Zahlen 1 bis 4 durchnummeriert sind. Beim Werfen des Tetraeders werden alle Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt. Das Tetraeder wird viermal geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen die Zahl 1 erzielt wird. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist in der Abbildung 1 dargestellt.

1. Die Zufallsgröße \(Y\) gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen die Zahl 1 nicht erzielt wird. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) in Abbildung 2 dar.
2. Bei einem anderen Zufallsexperiment werden ein roter und ein grüner Würfel, bei denen die Seiten jeweils mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind, viermal gleichzeitig geworfen. Gib zu diesem Zufallsexperiment eine Zufallsgröße \(Z\) an, die die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat wie \(X\) und begründe deine Angabe.

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Aufgabe 3  Glücksrad Zufallsgröße (eAN) 𝕋  𝕃

Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht. Die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) beschreibt, wie oft dabei die Farbe „Blau“, die binomialverteilte Zufallsgröße \(Y\), wie oft dabei die Farbe „Gelb“ erzielt wird.

1. Begründe, dass \(X\) und \(Y\) die gleiche Standardabweichung haben.
   Teilaufgabe

2. Der Erwartungswert von \(X\) ist ganzzahlig. Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\).
   
   Bestimme die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads.

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Aufgabe 4  Würfel beschriften (eAN) 𝕋  𝕃

Die drei nicht sichtbaren Seiten des abgebildeten Würfels sollen jeweils mit einer der Zahlen 3, 4, 5 oder 6 beschriftet werden. Dabei können Zahlen auch mehrfach verwendet werden.

Nach der Beschriftung soll der Würfel folgende Eigenschaften haben:

• Beim einmaligen Werfen ist der Erwartungswert für die erzielte Zahl gleich 4.
• Auf den sechs Seiten des Würfels kommen genau drei verschiedene Zahlen vor.
• Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, beträgt  \(\frac{1}{2}\).

Untersuche, ob es möglich ist, die nicht sichtbaren Seiten des Würfels so zu beschriften, dass er alle drei Eigenschaften besitzt.

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Aufgabe 5  Glücksrad Spendengala (gAN) 𝕋  𝕃

Auf einer Spendengala wird das folgende Spiel angeboten: Für einen Einsatz von 3€ dreht der Spieler zweimal ein Glücksrad. Dieses besteht aus mehreren gleich großen Sektoren. 10% der Sektoren sind grün eingefärbt. Für jedes Erzielen eines grünen Sektors werden dem Spieler 10€ ausgezahlt.

1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Spiel genau einmal einen grünen Sektor zu erzielen, 18% beträgt.
2. Begründe, dass der Veranstalter der Spendengala erwarten kann, mit diesem Spiel auf lange Sicht mehr Geld einzunehmen als auszuzahlen.

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