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Lösung Würfel beschriften

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/16 17:13
Erwartungshorizont Aus dem angegebenen Erwartungswert von 4 ergibt sich für die Summe der drei Zahlen auf den nicht sichtbaren Seiten der Wert 13.
Werden diese mit den Zahlen 3, 5 und 5 beschriftet, treffen die ersten zwei Aussagen zu und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, beträgt
\frac{4}{6}\cdot\frac{4}{6}+2\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{2}
Erläuterung der Lösung

Die bereits sichtbaren Flächen des Würfels tragen die Zahlen 1, 5 und 5. Deren Summe ist 11.

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist generell:
\mu=P\left(X=x_1\right)\cdot x_1+P\left(X=x_2\right)\cdot x_2+\ldots

Also in unserem Fall:
\mu=\frac{1}{6}\cdot1+\frac{1}{6}\cdot5+\frac{1}{6}\cdot5+\frac{1}{6}\cdot a+\frac{1}{6}\cdot b+\frac{1}{6}\cdot c
wenn a,b,c die drei noch unbekannten Zahlen auf den nicht sichtbaren Flächen sind.

Da die Laplace-Wahrscheinlichkeit des Würfels \frac{1}{6} ausgeklammert werden kann, ergibt sich:
\mu=\frac{1}{6}\cdot\left(1+5+5+a+b+c\right)
Dieser Erwartungswert soll 4 sein: 4=\frac{1}{6}\cdot\left(1+5+5+a+b+c\right)\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 24=1+5+5+a+b+c

Daraus folgt, dass die Summe der drei unbekannten Zahlen a+b+c=13 sein muss.

Wir haben laut Aufgabenstellung die Zahlen 3, 4, 5 und 6 zur Verfügung. Nur drei Kombinationen ergeben die Summe 13: 3+4+6=3+5+5=4+4+5=13
Nur eine dieser drei Kombination erfüllt die zweite Bedingung, dass der Würfel nur drei unterschiedliche Zahlen tragen darf, nämlich:
551355

Für diese Kombination kann überprüft werden, ob die Wahrscheinlichkeit tatsächlich \frac{1}{2} beträgt, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird („Pasch“):
P_{551355}\left(\mathrm{Pasch}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2} (5 und dann noch einmal 5 plus keine 5 und dann diese eine Zahl noch einmal)

Falls dich die Pasch-Wahrscheinlichkeiten für die beiden bereits ausgeschlossenen Kombinationen interessieren (in der Aufgabenstellung nicht gefordert!):
  • P_{551446}\left(\mathrm{Pasch}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{5}{18} (5 und dann noch einmal 5 plus 4 und dann noch einmal 4 plus 1 oder 6 und dann diese eine Zahl noch einmal)
  • P_{551346}\left(\mathrm{Pasch}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{9} (5 und dann noch einmal 5 plus keine 5 und dann diese eine Zahl noch einmal)

Abschließend: Die Kombination 551355 erfüllt alle drei Bedingungen.