Zum Inhalt springen

Wiki-Quellcode von Lösung Würfel beschriften

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/16 17:13
Zeige letzte Bearbeiter
1 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2 Aus dem angegebenen Erwartungswert von 4 ergibt sich für die Summe der drei Zahlen auf den nicht sichtbaren Seiten der Wert 13.
3 <br>
4 Werden diese mit den Zahlen 3, 5 und 5 beschriftet, treffen die ersten zwei Aussagen zu und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, beträgt
5 <br>
6 {{formula}}\frac{4}{6}\cdot\frac{4}{6}+2\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{2}{{/formula}}
7 {{/detail}}
8
9
10 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 <p>
12 Die bereits sichtbaren Flächen des Würfels tragen die Zahlen 1, 5 und 5. Deren Summe ist 11.
13 </p><p>
14 Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist generell:
15 <br>
16 {{formula}}\mu=P\left(X=x_1\right)\cdot x_1+P\left(X=x_2\right)\cdot x_2+\ldots{{/formula}}
17 </p> <p>
18 Also in unserem Fall:
19 <br>
20 {{formula}}\mu=\frac{1}{6}\cdot1+\frac{1}{6}\cdot5+\frac{1}{6}\cdot5+\frac{1}{6}\cdot a+\frac{1}{6}\cdot b+\frac{1}{6}\cdot c{{/formula}}
21 <br>
22 wenn {{formula}}a,b,c{{/formula}} die drei noch unbekannten Zahlen auf den nicht sichtbaren Flächen sind.
23 </p>
24 Da die Laplace-Wahrscheinlichkeit des Würfels {{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} ausgeklammert werden kann, ergibt sich:
25 <br>
26 {{formula}}\mu=\frac{1}{6}\cdot\left(1+5+5+a+b+c\right){{/formula}}
27 <br>
28 Dieser Erwartungswert soll 4 sein:
29 {{formula}}4=\frac{1}{6}\cdot\left(1+5+5+a+b+c\right)\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 24=1+5+5+a+b+c{{/formula}}
30 <p>
31 Daraus folgt, dass die Summe der drei unbekannten Zahlen {{formula}}a+b+c=13{{/formula}} sein muss.
32 </p>
33 Wir haben laut Aufgabenstellung die Zahlen 3, 4, 5 und 6 zur Verfügung. Nur drei Kombinationen ergeben die Summe 13:
34 {{formula}}3+4+6=3+5+5=4+4+5=13{{/formula}}
35 <br>
36 Nur eine dieser drei Kombination erfüllt die zweite Bedingung, dass der Würfel nur drei unterschiedliche Zahlen tragen darf, nämlich:
37 <br>
38 {{formula}}551355{{/formula}}
39 <p>
40 Für diese Kombination kann überprüft werden, ob die Wahrscheinlichkeit tatsächlich {{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} beträgt, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird („Pasch“):
41 <br>
42 {{formula}}P_{551355}\left(\mathrm{Pasch}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}{{/formula}}
43 (5 und dann noch einmal 5 plus keine 5 und dann diese eine Zahl noch einmal)
44 </p>
45 Falls dich die Pasch-Wahrscheinlichkeiten für die beiden bereits ausgeschlossenen Kombinationen interessieren (in der Aufgabenstellung nicht gefordert!):
46 * {{formula}}P_{551446}\left(\mathrm{Pasch}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{5}{18}{{/formula}}
47 (5 und dann noch einmal 5 plus 4 und dann noch einmal 4 plus 1 oder 6 und dann diese eine Zahl noch einmal)
48 * ((( {{formula}}P_{551346}\left(\mathrm{Pasch}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{9}{{/formula}} (5 und dann noch einmal 5 plus keine 5 und dann diese eine Zahl noch einmal)
49 )))
50 <br>
51
52 Abschließend: Die Kombination {{formula}}551355{{/formula}} erfüllt alle drei Bedingungen.
53
54 {{/detail}}