Lösung Würfel beschriften
Erwartungshorizont
Aus dem angegebenen Erwartungswert von 4 ergibt sich für die Summe der drei Zahlen auf den nicht sichtbaren Seiten der Wert 13.Werden diese mit den Zahlen 3, 5 und 5 beschriftet, treffen die ersten zwei Aussagen zu und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, beträgt
\(\frac{4}{6}\cdot\frac{4}{6}+2\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\)
Erläuterung der Lösung
Die bereits sichtbaren Flächen des Würfels tragen die Zahlen 1, 5 und 5. Deren Summe ist 11.
Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist generell:
\(\mu=P\left(X=x_1\right)\cdot x_1+P\left(X=x_2\right)\cdot x_2+\ldots\)
Also in unserem Fall:
\(\mu=\frac{1}{6}\cdot1+\frac{1}{6}\cdot5+\frac{1}{6}\cdot5+\frac{1}{6}\cdot a+\frac{1}{6}\cdot b+\frac{1}{6}\cdot c\)
wenn \(a,b,c\) die drei noch unbekannten Zahlen auf den nicht sichtbaren Flächen sind.
\(\mu=\frac{1}{6}\cdot\left(1+5+5+a+b+c\right)\)
Dieser Erwartungswert soll 4 sein: \(4=\frac{1}{6}\cdot\left(1+5+5+a+b+c\right)\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 24=1+5+5+a+b+c\)
Daraus folgt, dass die Summe der drei unbekannten Zahlen \(a+b+c=13\) sein muss.
Wir haben laut Aufgabenstellung die Zahlen 3, 4, 5 und 6 zur Verfügung. Nur drei Kombinationen ergeben die Summe 13: \(3+4+6=3+5+5=4+4+5=13\)Nur eine dieser drei Kombination erfüllt die zweite Bedingung, dass der Würfel nur drei unterschiedliche Zahlen tragen darf, nämlich:
\(551355\)
Für diese Kombination kann überprüft werden, ob die Wahrscheinlichkeit tatsächlich \(\frac{1}{2}\) beträgt, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird („Pasch“):
\(P_{551355}\left(\mathrm{Pasch}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\)
(5 und dann noch einmal 5 plus keine 5 und dann diese eine Zahl noch einmal)
- \(P_{551446}\left(\mathrm{Pasch}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{5}{18}\) (5 und dann noch einmal 5 plus 4 und dann noch einmal 4 plus 1 oder 6 und dann diese eine Zahl noch einmal)
- \(P_{551346}\left(\mathrm{Pasch}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{9}\) (5 und dann noch einmal 5 plus keine 5 und dann diese eine Zahl noch einmal)