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Lösung Dichtefunktion Normalverteilung

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/15 18:18

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont P\left(X=14\right)=0
Erläuterung der Lösung Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsgröße einen exakten Wert annimmt, ist immer null.

Ist die Dichtefunktion bekannt, so können Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden, indem man den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Dichtefunktion und der x-Achse in einem Intervall bestimmt, was gleichbedeutend damit ist, das Integral über die Dichtefunktion in diesem Intervall zu berechnen.

Die Fläche, deren Inhalt der Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert der Zufallsgröße entspräche, hätte die Breite null; das Integral hätte zwei identische Intervallgrenzen.

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont Der Inhalt der Fläche, die der Graph der Dichtefunktion mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x=18 und x=20 einschließt, ist etwa gleich dem Inhalt eines Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe 0,06. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit P\left(18\le X\le20\right) etwa 0,12. Aufgrund der Symmetrie des Graphen ergibt sich P\left(\left|X-20\right|>2\right)=1-2\cdot P\left(18\le X\le20\right)
Erläuterung der Lösung LoesungNormalverteilungblau.png Der Inhalt der Fläche, die der Graph der Dichtefunktion mit der x-Achse zwischen x=18 und x=20 einschließt, ist etwa gleich dem Inhalt des eingezeichneten blauen Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe 0,06. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit P\left(18\le X\le20\right) etwa 0,12.

In der Aufgabenstellung ist jedoch die Wahrscheinlichkeit P\left(\left|X-20\right|>2\right) gefragt, die zur rot eingezeichneten Fläche gehört: LoesungNormalverteilungblaurot.png
Aufgrund der Symmetrie des Graphen ergibt sich

\begin{align} \text{Rot} &= 1-2\cdot \text{Blau} \\ P\left(\left|X-20\right|>2\right) &=1-2\cdot P\left(18\le X\le20\right) \end{align}