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Version 3.1 von akukin am 2024/10/15 18:14
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1 === Teilaufgabe 1 ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}P\left(X=14\right)=0{{/formula}}
4 {{/detail}}
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7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsgröße einen exakten Wert annimmt, ist immer null.
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11 Ist die Dichtefunktion bekannt, so können Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden, indem man den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Dichtefunktion und der x-Achse in einem Intervall bestimmt, was gleichbedeutend damit ist, das Integral über die Dichtefunktion in diesem Intervall zu berechnen.
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14 Die Fläche, deren Inhalt der Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert der Zufallsgröße entspräche, hätte die Breite null; das Integral hätte zwei identische Intervallgrenzen.
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16 {{/detail}}
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19 === Teilaufgabe 2 ===
20 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
21 Der Inhalt der Fläche, die der Graph der Dichtefunktion mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen {{formula}}x=18{{/formula}} und {{formula}}x=20{{/formula}} einschließt, ist etwa gleich dem Inhalt eines Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe 0,06. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(18\le X\le20\right){{/formula}} etwa 0,12. Aufgrund der Symmetrie des Graphen ergibt sich
22 {{formula}}P\left(\left|X-20\right|>2\right)=1-2\cdot P\left(18\le X\le20\right){{/formula}}
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24 {{/detail}}
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27 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
28 Der Inhalt der Fläche, die der Graph der Dichtefunktion mit der x-Achse zwischen {{formula}}x=18{{/formula}} und {{formula}}x=20{{/formula}} einschließt, ist etwa gleich dem Inhalt des eingezeichneten blauen Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe 0,06. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(18\le X\le20\right){{/formula}} etwa 0,12.
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30 In der Aufgabenstellung ist jedoch die Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(\left|X-20\right|>2\right){{/formula}} gefragt, die zur rot eingezeichneten Fläche gehört:
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33 Aufgrund der Symmetrie des Graphen ergibt sich
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36 {{formula}}
37 \begin{align}
38 \text{Rot} &= 1-2\cdot \text{Blau} \\
39 P\left(\left|X-20\right|>2\right) &=1-2\cdot P\left(18\le X\le20\right)
40 \end{align}
41 {{/formula}}
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43 {{/detail}}