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Version 1.1 von Holger Engels am 2026/03/02 12:08
- Vorgabe: \(\textbf{L}=\left\lbrace\right\rbrace\) (unlösbar)
- Konstruktionsidee: Wir benötigen zwei Gleichungen, die sich logisch widersprechen. Geometrisch entspricht das zwei echten Parallelen, die keinen Schnittpunkt haben. Die linke Seite (Steigung) machen wir identisch, die rechte Seite (y-Achsenabschnitt) unterschiedlich.
- Das LGS:
\(\begin{aligned} x + y &= 1 \\ x + y &= 2 \end{aligned}\) - Probe: Zieht man die erste von der zweiten Gleichung ab, erhält man \(0 = 1\) (Widerspruch).
- Vorgabe: \(\textbf{L}=\left\lbrace\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\right\rbrace\) (eindeutig lösbar)
- Konstruktionsidee: Das System soll genau für \(x = 1\) und \(y = 2\) stimmen. Wir denken uns einfach zwei unterschiedliche, linear unabhängige Verknüpfungen aus und setzen die Werte ein, um die rechte Seite zu berechnen (z.B. \(1 + 2 = 3\) und \(1 - 2 = -1\)).
- Das LGS:
\(\begin{aligned} x + y &= 3 \\ x - y &= -1 \end{aligned}\) - Probe: Addiert man beide Gleichungen, erhält man \(2x = 2 \Rightarrow x = 1\). Setzt man \(x=1\) oben ein, folgt \(1 + y = 3 \Rightarrow y = 2\).
- Vorgabe: \(\textbf{L}=\left\lbrace\vec{x} |~ \vec{x}=\begin{pmatrix}r\\ 2r\end{pmatrix};~r\in \mathbb{R}\right\rbrace\) (mehrdeutig lösbar)
- Konstruktionsidee: Die Lösungsmenge sagt uns, dass \(x = r\) und \(y = 2r\) ist. Daraus folgt direkt der Zusammenhang \(y = 2x\), was umgeformt \(-2x + y = 0\) ergibt. Da wir ein LGS (mit mindestens zwei Gleichungen) aufstellen wollen, nehmen wir diese Gleichung und ein beliebiges Vielfaches davon (z.B. mal 2). Geometrisch liegen beide Geraden exakt aufeinander.
- Das LGS:
\(\begin{aligned} -2x + y &= 0 \\ -4x + 2y &= 0 \end{aligned}\) - Probe: Die zweite Gleichung liefert keine neue Information. Aus der ersten folgt \(y = 2x\). Wählt man \(x = r\) als freien Parameter, ergibt sich zwingend \(y = 2r\).