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Version 1.1 von Holger Engels am 2026/03/02 12:08
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Holger Engels 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 * **Vorgabe:** {{formula}}\textbf{L}=\left\lbrace\right\rbrace{{/formula}} (unlösbar)
4 * **Konstruktionsidee:** Wir benötigen zwei Gleichungen, die sich logisch widersprechen. Geometrisch entspricht das zwei echten Parallelen, die keinen Schnittpunkt haben. Die linke Seite (Steigung) machen wir identisch, die rechte Seite (y-Achsenabschnitt) unterschiedlich.
5 * **Das LGS:**
6 {{formula}}
7 \begin{aligned}
8 x + y &= 1 \\
9 x + y &= 2
10 \end{aligned}
11 {{/formula}}
12 * **Probe:** Zieht man die erste von der zweiten Gleichung ab, erhält man {{formula}}0 = 1{{/formula}} (Widerspruch).
13 )))
14 1. (((
15 * **Vorgabe:** {{formula}}\textbf{L}=\left\lbrace\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\right\rbrace{{/formula}} (eindeutig lösbar)
16 * **Konstruktionsidee:** Das System soll genau für {{formula}}x = 1{{/formula}} und {{formula}}y = 2{{/formula}} stimmen. Wir denken uns einfach zwei unterschiedliche, linear unabhängige Verknüpfungen aus und setzen die Werte ein, um die rechte Seite zu berechnen (z.B. {{formula}}1 + 2 = 3{{/formula}} und {{formula}}1 - 2 = -1{{/formula}}).
17 * **Das LGS:**
18 {{formula}}
19 \begin{aligned}
20 x + y &= 3 \\
21 x - y &= -1
22 \end{aligned}
23 {{/formula}}
24 * **Probe:** Addiert man beide Gleichungen, erhält man {{formula}}2x = 2 \Rightarrow x = 1{{/formula}}. Setzt man {{formula}}x=1{{/formula}} oben ein, folgt {{formula}}1 + y = 3 \Rightarrow y = 2{{/formula}}.
25 )))
26 1. (((
27 * **Vorgabe:** {{formula}}\textbf{L}=\left\lbrace\vec{x} |~ \vec{x}=\begin{pmatrix}r\\ 2r\end{pmatrix};~r\in \mathbb{R}\right\rbrace{{/formula}} (mehrdeutig lösbar)
28 * **Konstruktionsidee:** Die Lösungsmenge sagt uns, dass {{formula}}x = r{{/formula}} und {{formula}}y = 2r{{/formula}} ist. Daraus folgt direkt der Zusammenhang {{formula}}y = 2x{{/formula}}, was umgeformt {{formula}}-2x + y = 0{{/formula}} ergibt. Da wir ein LGS (mit mindestens zwei Gleichungen) aufstellen wollen, nehmen wir diese Gleichung und ein beliebiges Vielfaches davon (z.B. mal 2). Geometrisch liegen beide Geraden exakt aufeinander.
29 * **Das LGS:**
30 {{formula}}
31 \begin{aligned}
32 -2x + y &= 0 \\
33 -4x + 2y &= 0
34 \end{aligned}
35 {{/formula}}
36 * **Probe:** Die zweite Gleichung liefert keine neue Information. Aus der ersten folgt {{formula}}y = 2x{{/formula}}. Wählt man {{formula}}x = r{{/formula}} als freien Parameter, ergibt sich zwingend {{formula}}y = 2r{{/formula}}.
37 )))