Lösung Kreismittelpunkt

Analyse anhand informativer Skizze

  Mittelpunkt innerhalb Dreieck

  Mittelpunkt außerhalb Dreieck

Zum besseren Einblick wird angenommen, dass die Punkte A, B und C nacheinander gewählt werden.

Die gedanklich erst gewählten Punkte A und B begrenzen einen Kreisbogen.

Der Mittelpunkt M liegt genau dann im Dreieck, falls C auf dem an M  gespiegelten Kreisbogen liegt (siehe Abbildung).

 Die Wahrscheinlichkeit hierfür entspricht dem Verhältnis der Länge des Kreisbogens (b) und des Kreisumfangs:   (bei Kreisradius r = 1).

Falls die Punkte A und B nahe beieinander liegen, ist auch die Wahrscheinlichkeit sehr gering und strebt gegen 0 (obere Abbildung).

Falls die Punkte A und B weit voneinander entfernt liegen, strebt die Wahrscheinlichkeit gegen 0,5 (untere Abbildung).

P wächst mit zunehmender Kreisbogenlänge b linear von 0 % bis 50 %.

Die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit entspricht dem Mittelwert über alle möglichen Positionen von B und beträgt 25 %.