Lösung Kreismittelpunkt

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2023/11/24 15:08

Analyse anhand informativer Skizze

MittelpunktinnerhalbDreieck.png

  Mittelpunkt innerhalb Dreieck

Mittelpunktaußerhalb.png

  Mittelpunkt außerhalb Dreieck

Skizze1.png

Zum besseren Einblick wird angenommen, dass die Punkte A, B und C nacheinander gewählt werden.

Die gedanklich erst gewählten Punkte A und B begrenzen einen Kreisbogen.

Der Mittelpunkt M liegt genau dann im Dreieck, falls C auf dem an M  gespiegelten Kreisbogen liegt (siehe Abbildung).

Skizze2.png Die Wahrscheinlichkeit hierfür entspricht dem Verhältnis der Länge des Kreisbogens (b) und des Kreisumfangs: P=\frac{b}{2\pi}  (bei Kreisradius r = 1).

Falls die Punkte A und B nahe beieinander liegen, ist auch die Wahrscheinlichkeit sehr gering und strebt gegen 0 (obere Abbildung).

Falls die Punkte A und B weit voneinander entfernt liegen, strebt die Wahrscheinlichkeit gegen 0,5 (untere Abbildung).

P wächst mit zunehmender Kreisbogenlänge b linear von 0 % bis 50 %.

Skizze3.png
Die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit entspricht dem Mittelwert über alle möglichen Positionen von B und beträgt 25 %.