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Lösung Nullstellen

Version 3.1 von Holger Engels am 2023/10/30 21:07
Information

Es gibt Aufgaben bei denen allgemeine Aussagen abgeleitet werden sollen oder Parameteraufgaben, bei denen bestimmte Eigenschaften auf diese Parameter zurückgeführt werden sollen. Bei solchen Aufgaben kann es nützlich sein, sich den Sachverhalt an mehreren konkreten Spezialfällen / Zahlenbeispielen übersichtlich aufzuschreiben bzw. zu veranschaulichen. Diese Beispiele können helfen, Muster zu erkennen, welche dann zur gesuchten Aussage führen können.

Welche Nullstellen besitzen die Tangenten an den Graphen der e-Funktion?

Spezialfall x = 1:  Berührpunkt B_1(1|e) mit Steigung m = e liefert Tangente: y = e(x – 1) + e
      Nullstelle:  

\begin{align*} e(x – 1) + e &= 0 & \\ e(x – 1) &= - e &| : 1 \\ x – 1 &= - 1 &| + 1 \end{align*}

\Rightarrow x_1 = 0

Spezialfall x = 2:  Berührpunkt B_2(2|e^2) mit Steigung m = e^2 liefert Tangente: y = e^2(x – 2) + e^2
      Nullstelle:  

\begin{align*} e^2(x – 2) + e^2 &= 0 & \\ e^2(x – 2) &= - e^2 &| : 1 \\ x – 2 &= - 1 &| + 2 \end{align*}

\Rightarrow x_2 = 1

Vermutung: x_n = n – 1

Nachweis:  Berührpunkt B_n(n|e^n) mit Steigung m = e^n liefert Tangente: y = e^n(x – n) + e^n
   Nullstelle:  

\begin{align*} e^n(x – n) + e^n &= 0 & \\ e^n(x – n) &= - en &| : 1 \\ x – n &= - 1 &| + n \end{align*}

\Rightarrow x^n = n – 1