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Lösung Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen

Version 7.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/24 12:02

  1. Methode Vergleich von Basis und Exponent; vgl. Koeffizientenvergleich:
    S1: Für \(b=3\) gilt \(n=-4\), denn \(3^n=\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}=3^{-4}\).

    S2: Für \(b=\frac{1}{3}\) gilt \(n=+4\), denn \(\left(\frac{1}{3}\right)^n=\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}=\left(\frac{1}{3}\right)^4\).

    S3: Für \(b=9\) gilt \(n=-2\), denn \(9^{n}=\frac{1}{81}=\frac{1}{9^2}=9^{-2}\).

    S4: Für \(n=2\) gilt \(b=\frac{1}{9}\), denn \(b^2=\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{9}\right)^2\).

    S5: Für \(n=-4\) gilt \(b=3\), denn \(b^{-4}=\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}=3^{-4}\).

    S6: Für \(n=-1\) gilt \(b=81{/formula}}, denn {{formula}}b^{-1}=\frac{1}{81}=81^{-1}{{/formula}}. ))) 1. (((Es stimmen überein: {{formula}}3^{-4}{{/formula}} aus S1 und S5. Außerdem beschreiben alle gefundenen Darstellungen denselben Wert: {{formula}}\frac{1}{81} = 3^{-4} = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 9^{-2} = \left(\frac{1}{9}\right)^2 = 81^{-1}{{/formula}} ))) 1. (((Beispiel 1: {{formula}}3^{-4} = \left(\frac{1}{3}\right)^4{{/formula}}. Ersetzt man die Basis {{formula}}3{{/formula}} durch ihren Kehrbruch {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}}, so ändert sich der Exponent von {{formula}}-4{{/formula}} zu {{formula}}4{{/formula}}. Beispiel 2: {{formula}}9^{-2} = \left(\frac{1}{9}\right)^2{{/formula}} Auch hier wird beim Ersetzen der Basis durch ihren Kehrbruch das Vorzeichen des Exponenten gewechselt. ))) 1. (((Eine weitere Darstellung ist zum Beispiel: {{formula}}\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{81}\right)^1{{/formula}} Alternativ z.B.: {{formula}}\frac{1}{81}=81^{-1}{{/formula}}, falls diese nicht bereits verwendet wurde. )))\)