Lösung Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen

Die drei Gleichungen.

• Gleichung \(x^{-1} = -x\).
  Dies ist äquivalent zu \(\frac{1}{x} = -x \;\Rightarrow\; 1 = -x^2 \;\Rightarrow\; x^2 = -1\).
  Da es keine reellen Lösungen gibt, existieren keine Beispiele.
  Ein Gegenbeispiel: \(x=1\) ⇒ \(1^{-1}=1 \neq -1\).
• Gleichung \(x^{-1} = \frac{1}{x}\).
  Dies gilt für alle \(x \ne 0\), also gibt es keine Gegenbeispiele.
  Zwei Beispiele: \(x=2\) ⇒ \(2^{-1}=\frac{1}{2}\), \(x=-3\) ⇒ \((-3)^{-1}=\frac{1}{-3}\).
• Gleichung \(x^{-1} = x\).
  Dies ist äquivalent zu \(\frac{1}{x} = x \;\Rightarrow\; 1 = x^2\).
  Lösungen: \(x=1\) und \(x=-1\), das sind die beiden einzigen Beispiele.
  Ein Gegenbeispiel: \(x=2\) ⇒ \(2^{-1}=1/2 \neq -2\).

Zuordnung:

• \(x^{-1} = -x \;\Leftrightarrow\; x^2 = -1\)  
• \(x^{-1} = \frac{1}{x} \;\Leftrightarrow\; 1 = 1\)  
• \(x^{-1} = x \;\Leftrightarrow\; x^2 = 1\)
  Begründung jeweils durch Umformen der Gleichungen (Multiplikation mit \(x\)).

Der Fall \(x=0\) muss ausgeschlossen werden, da der Ausdruck \(x^{-1}\) bzw. \(\frac{1}{x}\) für \(x=0\) nicht definiert ist.
Eine Division durch 0 ist nicht möglich, da es keine Zahl gibt, die mit 0 multipliziert den Wert 1 ergibt.