Lösung Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen

1. Zu untersuchen ist, ob \(n^4\) stets das Quadrat einer positiven Zahl ist.

Es gilt: \(n^4 = (n^2)^2\)

Da \(n\) eine positive natürliche Zahl ist, ist auch \(n^2 > 0\).
Damit ist \(n^4\) das Quadrat der positiven Zahl \(n^2\).

⇒ Die Aussage ist wahr.

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2. Zu untersuchen ist, ob \(n^6\) stets das Quadrat einer negativen Zahl ist.

Es gilt:
\(n^6 = (n^3)^2\)

Da \(n > 0\), ist auch \(n^3 > 0\).
Damit ist \(n^6\) das Quadrat der positiven Zahl \(n^3\).

Allerdings gilt auch:
\(n^6 = (-n^3)^2\)

Da \(-n^3 < 0\), ist \(n^6\) ebenfalls das Quadrat einer negativen Zahl.

⇒ Die Aussage ist wahr, da es stets eine negative Zahl gibt, deren Quadrat \(n^6\) ist.