Änderungen von Dokument Lösung Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,21 +1,39 @@
1	1	(% style="list-style: alphastyle" %)
2		-1. (((Betrachte die drei Fälle einzeln.
3		-* {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16{{/formula}}: Gesucht sind alle Zahlen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x^2=16{{/formula}}; das sind {{formula}}x=4{{/formula}} oder {{formula}}x=-4{{/formula}}. Also: {{formula}}16^{\frac{1}{2}} \in \{4,-4\}{{/formula}}
	2	+1. (((
	3	+{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16{{/formula}}
	4	+Gesucht sind alle Zahlen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x^2=16{{/formula}}.
	5	+⇒ {{formula}}x=4{{/formula}} oder {{formula}}x=-4{{/formula}}
4	4
5		-* {{formula}}(8^{\frac{1}{3}})^3 = 8{{/formula}}: Gesucht sind alle Zahlen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x^3=8{{/formula}}; das ist {{formula}}x=2{{/formula}} (eindeutig). Also: {{formula}}8^{\frac{1}{3}}=2{{/formula}}
	7	+Also: {{formula}}16^{\frac{1}{2}} \in \{4,-4\}{{/formula}}
6	6
7		-* {{formula}}(16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}: Gesucht sind alle Zahlen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x^4=16{{/formula}}; das sind {{formula}}x=2{{/formula}} oder {{formula}}x=-2{{/formula}}. Also: {{formula}}16^{\frac{1}{4}} \in \{2,-2\}{{/formula}}
	9	+{{formula}}(8^{\frac{1}{3}})^3 = 8{{/formula}}
	10	+Gesucht sind alle Zahlen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x^3=8{{/formula}}.
	11	+⇒ {{formula}}x=2{{/formula}} (eindeutig)
8	8
	13	+Also: {{formula}}8^{\frac{1}{3}}=2{{/formula}}
	14	+
	15	+{{formula}}(16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
	16	+Gesucht sind alle Zahlen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x^4=16{{/formula}}.
	17	+⇒ {{formula}}x=2{{/formula}} oder {{formula}}x=-2{{/formula}}
	18	+
	19	+Also: {{formula}}16^{\frac{1}{4}} \in \{2,-2\}{{/formula}}
9	9	)))
10		-1. (((//Vergleich der drei Fälle//:
11		-* Bei geradem Exponenten ({{formula}}2,4{{/formula}}) gibt es //zwei Lösungen// (positive und negative Zahl).
12		-* Bei ungeradem Exponenten ({{formula}}3{{/formula}}) gibt es //genau eine Lösung// (positive Zahl).
13	13
14		-//Befund//: Mehrere Zahlen sind möglich bei **geraden Exponenten**, genau eine Zahl bei **ungeraden Exponenten**.
	22	+1. (((
	23	+Vergleich:
	24	+- Bei geradem Exponenten ({{formula}}2,4{{/formula}}) gibt es **zwei Lösungen** (positive und negative Zahl).
	25	+- Bei ungeradem Exponenten ({{formula}}3{{/formula}}) gibt es **genau eine Lösung**.
	26	+
	27	+⇒ Mehrere Zahlen sind möglich bei **geradem Exponenten**, genau eine Zahl bei **ungeradem Exponenten**.
15	15	)))
16		-1. (((//Festlegung (Vorschlag)//: Durch die Potenzschreibweise {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} wird (falls überhaupt existent) die **nichtnegative Lösung** (positiv oder Null) bezeichnet.
17	17
18		-Also: {{formula}}16^{\frac{1}{2}}=4,\quad 8^{\frac{1}{3}}=2,\quad 16^{\frac{1}{4}}=2{{/formula}}
	30	+1. (((
	31	+Festlegung:
	32	+Durch die Potenzschreibweise {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} wird die **positive (nichtnegative) Lösung** bezeichnet.
19	19
20		-//Begründung//: Diese Festlegung macht die Zuordnung eindeutig und stimmt mit der üblichen Definition der Wurzel als nichtnegative Zahl überein.
	34	+Also:
	35	+{{formula}}16^{\frac{1}{2}}=4,\quad 8^{\frac{1}{3}}=2,\quad 16^{\frac{1}{4}}=2{{/formula}}
	36	+
	37	+Begründung:
	38	+Diese Festlegung macht die Zuordnung eindeutig und stimmt mit der üblichen Definition der Wurzel als nichtnegative Zahl überein.
21	21	)))