Lösung Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären

Betrachte die drei Fälle einzeln.

• \((16^{\frac{1}{2}})^2 = 16\): Gesucht sind alle Zahlen \(x\) mit \(x^2=16\); das sind \(x=4\) oder \(x=-4\). Also: \(16^{\frac{1}{2}} \in \{4,-4\}\)

• \((8^{\frac{1}{3}})^3 = 8\): Gesucht sind alle Zahlen \(x\) mit \(x^3=8\); das ist \(x=2\) (eindeutig). Also: \(8^{\frac{1}{3}}=2\)

• \((16^{\frac{1}{4}})^4 = 16\): Gesucht sind alle Zahlen \(x\) mit \(x^4=16\); das sind \(x=2\) oder \(x=-2\). Also: \(16^{\frac{1}{4}} \in \{2,-2\}\)

Vergleich:
- Bei geradem Exponenten (\(2,4\)) gibt es zwei Lösungen (positive und negative Zahl).  
- Bei ungeradem Exponenten (\(3\)) gibt es genau eine Lösung.

⇒ Mehrere Zahlen sind möglich bei geradem Exponenten, genau eine Zahl bei ungeradem Exponenten.

Festlegung:  
Durch die Potenzschreibweise \(a^{\frac{1}{n}}\) wird die positive (nichtnegative) Lösung bezeichnet.

Also:
\(16^{\frac{1}{2}}=4,\quad 8^{\frac{1}{3}}=2,\quad 16^{\frac{1}{4}}=2\)

Begründung:  
Diese Festlegung macht die Zuordnung eindeutig und stimmt mit der üblichen Definition der Wurzel als nichtnegative Zahl überein.