Änderungen von Dokument Lösung Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,33 +1,32 @@
1	1	(% style="list-style: alphastyle" %)
2	2	1. (((//Vergleich//:
3		-- (((Für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}}:
	3	+* (((Für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}}:
4	4	* {{formula}}(16^{\frac12})^3 = 4^3 = 64{{/formula}}
5	5	* {{formula}}(16^3)^{\frac12} = \sqrt{4096}=64{{/formula}}
6	6	)))
7		-- (((Für {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}:
	7	+* (((Für {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}:
8	8	* {{formula}}(8^{\frac13})^2 = 2^2 = 4{{/formula}}
9	9	* {{formula}}(8^2)^{\frac13} = \sqrt[3]{64}=4{{/formula}}
10	10	)))
	11	+
11	11	In beiden Fällen liefern die Darstellungen denselben Wert.
12	12	)))
13	13	1. (((//Zwei weitere Beispiele//:
14		-- ((({{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}:
	15	+* ((({{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}:
15	15	* {{formula}}((-8)^{\frac13})^2 = (-2)^2 = 4{{/formula}}
16	16	* {{formula}}((-8)^2)^{\frac13} = 64^{\frac13}=4{{/formula}}
17		-Hier stimmen die Ergebnisse überein.
18	18	)))
19		-- (((Betrachtet man jedoch {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=6{{/formula}}:
	19	+* (((Betrachtet man jedoch {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=6{{/formula}}:
20	20	* {{formula}}((-8)^2)^{\frac16} = 64^{\frac16} = 2{{/formula}} ist definiert.
21	21	* {{formula}}((-8)^{\frac16})^2{{/formula}} hingegen ist in den reellen Zahlen nicht definiert, da {{formula}}(-8)^{\frac16}{{/formula}} nicht existiert.
22	22	)))
23		-⇒ Die beiden Darstellungen liefern nicht immer denselben Wert bzw. sind nicht immer beide definiert.
	23	+
	24	+Die beiden Darstellungen liefern nicht immer denselben Wert bzw. sind nicht immer beide definiert.
24	24	)))
25	25	1. (((Die Darstellung {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} ist als Definition vorzuziehen.
26	26	//Begründung//:
27	27	* Sie knüpft direkt an die Bedeutung von {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} als n-te Wurzel an und legt fest, dass zunächst diese eindeutig bestimmte Zahl gebildet und anschließend potenziert wird.
28		-* Für {{formula}}a \ge 0{{/formula}} stimmen beide Darstellungen überein, da gilt:
29		-{{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
	29	+* Für {{formula}}a \ge 0{{/formula}} stimmen beide Darstellungen überein, da gilt: {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
30	30	* Bei negativen Basen können jedoch Unterschiede auftreten, insbesondere wenn der Nenner {{formula}}n{{/formula}} gerade ist, da dann {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} nicht definiert ist.
31		-
32		-Die erste Darstellung macht diese Einschränkung transparent und ist daher als allgemeine Definition geeigneter.
	31	+* Die erste Darstellung macht diese Einschränkung transparent und ist daher als allgemeine Definition geeigneter.
33	33	)))