Lösung Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen
Version 1.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/24 13:56
Vergleich:
-Für \(a=16,\ m=3,\ n=2\):
- \((16^{\frac12})^3 = 4^3 = 64\)
- \((16^3)^{\frac12} = \sqrt{4096}=64\)
-
Für \(a=8,\ m=2,\ n=3\):
- \((8^{\frac13})^2 = 2^2 = 4\)
- \((8^2)^{\frac13} = \sqrt[3]{64}=4\)
In beiden Fällen liefern die Darstellungen denselben Wert.
Zwei weitere Beispiele:
-\(a=-8,\ m=2,\ n=3\):
- \(((-8)^{\frac13})^2 = (-2)^2 = 4\)
- \(((-8)^2)^{\frac13} = 64^{\frac13}=4\)
Hier stimmen die Ergebnisse überein.
-
Betrachtet man jedoch \(a=-8,\ m=2,\ n=6\):
- \(((-8)^2)^{\frac16} = 64^{\frac16} = 2\) ist definiert.
- \(((-8)^{\frac16})^2\) hingegen ist in den reellen Zahlen nicht definiert, da \((-8)^{\frac16}\) nicht existiert.
⇒ Die beiden Darstellungen liefern nicht immer denselben Wert bzw. sind nicht immer beide definiert.
Die Darstellung \(a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m\) ist als Definition vorzuziehen.
Begründung:- Sie knüpft direkt an die Bedeutung von \(a^{\frac{1}{n}}\) als n-te Wurzel an und legt fest, dass zunächst diese eindeutig bestimmte Zahl gebildet und anschließend potenziert wird.
- Für \(a \ge 0\) stimmen beide Darstellungen überein, da gilt:
\((a^{\frac{1}{n}})^m = (a^m)^{\frac{1}{n}}\) - Bei negativen Basen können jedoch Unterschiede auftreten, insbesondere wenn der Nenner \(n\) gerade ist, da dann \(a^{\frac{1}{n}}\) nicht definiert ist.
Die erste Darstellung macht diese Einschränkung transparent und ist daher als allgemeine Definition geeigneter.