Lösung Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen

Vergleich:

• Für \(a=16,\ m=3,\ n=2\):

  • \((16^{\frac12})^3 = 4^3 = 64\)
  • \((16^3)^{\frac12} = \sqrt{4096}=64\)

• Für \(a=8,\ m=2,\ n=3\):

  • \((8^{\frac13})^2 = 2^2 = 4\)
  • \((8^2)^{\frac13} = \sqrt[3]{64}=4\)
  In beiden Fällen liefern die Darstellungen denselben Wert.

Zwei weitere Beispiele:

• \(a=-8,\ m=2,\ n=3\):

  • \(((-8)^{\frac13})^2 = (-2)^2 = 4\)
  • \(((-8)^2)^{\frac13} = 64^{\frac13}=4\)
    Hier stimmen die Ergebnisse überein.

• Betrachtet man jedoch \(a=-8,\ m=2,\ n=6\):

  • \(((-8)^2)^{\frac16} = 64^{\frac16} = 2\) ist definiert.
  • \(((-8)^{\frac16})^2\) hingegen ist in den reellen Zahlen nicht definiert, da \((-8)^{\frac16}\) nicht existiert.
  ⇒ Die beiden Darstellungen liefern nicht immer denselben Wert bzw. sind nicht immer beide definiert.

Die Darstellung \(a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m\) ist als Definition vorzuziehen.
Begründung:

• Sie knüpft direkt an die Bedeutung von \(a^{\frac{1}{n}}\) als n-te Wurzel an und legt fest, dass zunächst diese eindeutig bestimmte Zahl gebildet und anschließend potenziert wird.
• Für \(a \ge 0\) stimmen beide Darstellungen überein, da gilt:
  \((a^{\frac{1}{n}})^m = (a^m)^{\frac{1}{n}}\)
• Bei negativen Basen können jedoch Unterschiede auftreten, insbesondere wenn der Nenner \(n\) gerade ist, da dann \(a^{\frac{1}{n}}\) nicht definiert ist.

Die erste Darstellung macht diese Einschränkung transparent und ist daher als allgemeine Definition geeigneter.