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Lösung Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n

Version 3.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/24 13:39

  1. Potenzdarstellungen: \(\sqrt{2}=2^{\frac12},\quad 2=2^1,\quad 2\sqrt{2}=2^{\frac32},\quad 4=2^2,\quad 4\sqrt{2}=2^{\frac52}\)

  2. Muster der Zahlenfolge: Jede Zahl entsteht durch Multiplikation mit \(\sqrt{2}\).
    Muster in der Potenzdarstellung: Die Exponenten nehmen jeweils um \(\frac12\) zu: \(\frac12,\ 1,\ \frac32,\ 2,\ \frac52\)

  3. Fortsetzung nach links: \(\frac{\sqrt{2}}{2},\quad 1\);
    Fortsetzung nach rechts: \(8,\quad 8\sqrt{2}\).
    Erweiterte Folge:

     \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)  1  \(\sqrt{2}\)  2  \(2\sqrt{2}\)  4  \(4\sqrt{2}\)  8  \(8\sqrt{2}\) 

  4. Passende Potenzdarstellungen:

    • \(\frac{\sqrt{2}}{2}=2^{-\frac12}\)
    • \(1=2^0\)
    • \(8=2^3\)
    • \(8\sqrt{2}=2^{\frac72}\)
      Die Zuordnung ist sinnvoll, weil jedes Folgenglied durch Multiplikation mit \(\sqrt{2}=2^{\frac12}\) entsteht. In der Potenzdarstellung bedeutet das: Der Exponent wird jeweils um \(\frac12\) erhöht.
      Deshalb treten Exponenten der Form \(\frac{m}{n}\) auf, hier insbesondere Exponenten mit Nenner \(2\).