Lösung Zehnerpotenzen – Größen vergleichen
Version 1.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/26 00:25
Ordnung:
\[9 \cdot 10^{-5} < 7 \cdot 10^{-3} < 1{,}2 \cdot 10^2 < 3 \cdot 10^5\]Begründung: Alle Vorfaktoren liegen im Bereich \(1 \le a < 10\). Deshalb entscheidet zunächst der Exponent über die Größenordnung.
Es gilt:
\[-5 < -3 < 2 < 5\]also:
\[10^{-5} < 10^{-3} < 10^2 < 10^5\]Die Aussage „\(9 \cdot 10^{-5}\) ist größer als \(7 \cdot 10^{-3}\), weil 9 größer als 7 ist.“
ist falsch.Der Denkfehler besteht darin, nur die Vorfaktoren \(9\) und \(7\) zu vergleichen. Da die Exponenten verschieden sind, entscheidet hier zuerst die Größenordnung:
\[10^{-5} < 10^{-3}\]also:
\[9 \cdot 10^{-5} < 7 \cdot 10^{-3}\]Strategie: Bei Zahlen der Darstellungsform \(\pm a \cdot 10^n\) mit \(1 \le a < 10\):
- Zuerst vergleicht man die Vorzeichen.
- Bei positiven Zahlen gilt: Der größere Exponent \(n\) bedeutet die größere Zahl.
- Bei gleichem Exponenten vergleicht man die Vorfaktoren \(a\).
- Bei negativen Zahlen ist zusätzlich zu beachten: Die Zahl mit dem größeren Betrag ist die kleinere Zahl.
So kann man die Größen vergleichen, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.