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Wiki-Quellcode von BPE 12.3 Potenzfunktion

Version 83.1 von ansorge am 2026/02/03 12:49
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Eigenschaften von Potenzfunktionen und deren Graphen untersuchen .
4 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann zwischen den verschiedenen Darstellungsformen wechseln.
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6 {{lehrende}}
7 **Unterrichtsidee** [[Hyperbel aus Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt>>Klasse 10.BPE_12L.Hyperbel aus Rechtecken gleichen Flächeninhalts.WebHome]]
8 {{/lehrende}}
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10 {{aufgabe id="Definitions- und Wertemenge aus Gleichung und Graph" afb="I" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
11 | (((
12 a) Gib den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an!
13 {{formula}}f(x) = \frac{1}{x}{{/formula}}
14 ))) | (((
15 b) Gib den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an!
16 {{formula}}f(x) = x^{-2}{{/formula}}
17 )))
18 | (((c) Markiere den zum Definitionsbereich passenden Wertebereich im Graphen!
19 [[image:D und W - Kubische.svg||style="height:250px"]]
20 ))) | (((
21 d) Gib den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an!
22 [[image:D und W - Parabel.svg||style="height:250px"]]
23 )))
24 {{/aufgabe}}
25
26 {{aufgabe id="Erkunden - Gerader Exponent" afb="I" kompetenzen="K4,K5" zeit="12" quelle="Holger Engels, Martin Rathgeb"}}
27 Gegeben sind zwei Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} und {{formula}}h(x)=x^{-2}{{/formula}}.
28 (% style="list-style: alphastyle" %)
29 1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
30 1. Skizziere jeweils den Graphen der Funktion ggf. mit Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x-Achse von {{formula}}[-3; +3]{{/formula}} geht.
31 1. Beschreibe die Symmetrien, die bei den Graphen bzw. zwischen den Graphen erkennbar sind.
32 {{/aufgabe}}
33
34 {{aufgabe id="Erkunden - Ungerader Exponent" afb="I" kompetenzen="K4,K5" zeit="12" quelle="Holger Engels, Martin Rathgeb"}}
35 Gegeben sind drei Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=x^3{{/formula}} und {{formula}}h(x)=x^{-3}{{/formula}}.
36 (% style="list-style: alphastyle" %)
37 1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
38 1. Skizziere jeweils die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x- und y-Achse jeweils von {{formula}}[-8; +8]{{/formula}} geht.
39 1. Beschreibe die Symmetrien, die bei den Graphen bzw. zwischen den Graphen erkennbar sind.
40 {{/aufgabe}}
41
42 {{aufgabe id="Venn - Eigenschaften" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="8" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" tags="problemlösen"}}
43 [[image:Venn Potenzfunktionen Mittelstufe.svg|| width="500" style="float: left"]]
44 Gib für jedes Feld **A** .. **D** eine passende Funktion {{formula}}f(x)=x^n{{/formula}} an. Sollte ein Feld nicht gefüllt werden können, begründe bitte, warum es nicht geht.
45
46 (% style="width: calc(100% - 500px); min-width: 300px" %)
47 |= A |
48 |= B |
49 |= C |
50 |= D |
51 {{/aufgabe}}
52
53 {{aufgabe id="Entscheiden – Potenzfunktionen" afb="II" kompetenzen="K1, K2,K4,K5" zeit="8" quelle="Team KS Offenburg"}}
54 Gegeben ist das Schaubild einer Potenzfunktion mit folgenden Eigenschaften:
55
56 (% style="list-style: disc" %)
57 - Das Schaubild ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
58 - Die Funktion ist für {{formula}}x=0{{/formula}} nicht definiert.
59 - Alle Funktionswerte sind positiv.
60
61 Entscheide begründet, ob die nachfolgenden Funktionsterme zu dem beschriebenen Schaubild passen können.
62
63 (% style="list-style: alphastyle" %)
64 1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}
65 1. {{formula}}f(x)=x^4{{/formula}}
66 1. {{formula}}f(x)=x^{-1}{{/formula}}
67 1. {{formula}}f(x)=x^{-2}{{/formula}}
68
69 {{/aufgabe}}
70
71 {{aufgabe id="Potenzfunktion - Zusammenhänge zwischen Kapital, Zinssatz und Zinsen" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5" quelle="Reinhard Ansorge" cc="BY-SA" zeit="10"}}
72
73 (%class=abc%)
74 1. Berechne, welches Kapital man anlegen muss, um daraus bei einem Zinssatz von 2 % (3 %) Zinsen in Höhe von 500 € zu bekommen.
75 1. Stelle den Zusammenhang zwischen dem Kapital K und dem Zinssatz x (in %) als Potenzfunktion K dar und zeichne das zugehörige Schaubild für 0 ≤ x ≤ 10 und 0 ≤ {{formula}}K(x){{/formula}} ≤ 60.000.
76 1. Berechne, bei welchem Zinssatz aus einem Kapital von 100.000 € nach einem Jahr 500 € Zinsen zu erzielen sind.
77
78 {{/aufgabe}}
79
80 {{aufgabe id="Kritisch Stellung nehmen" afb="II" kompetenzen="K1, K6" zeit="4" quelle="Team KS Offenburg, geändert: Beate Gomoll"}}
81 Ein Schüler behauptet:
82 „Je größer der Exponent einer Potenzfunktion ist, desto steiler ist der Graph überall.“
83
84 Nimm kritisch Stellung zu dieser Aussage.
85 Tipp: Du kannst bspw. auch mithilfe eines konkreten Beispiels zweier Potenzfunktionen mit verschieden großen Exponenten Stellung nehmen.
86 {{/aufgabe}}
87
88 {{aufgabe id="Anwendung - Prozesse zuordnen" afb="II" kompetenzen="K1, K3, K4, K6" zeit="8" quelle="Team KS Offenburg"}}
89 Ordne jedem **Prozess (I bis IV)** aus der linken Spalte jeweils den zugehörigen **Graphen** oder den zugehörigen **Funktionsterm** aus der rechten Spalte zu.
90 Begründe jede deiner Zuordnung mathematisch. Gehe dabei insbesondere auf folgende Punkte ein:
91 * Wie wächst/fällt der Graph, wenn x größer wird?
92 * Wie verhält sich der Graph bei kleinen x-Werten, besonders in der Nähe von x = 0?
93 * Ist der Graph symmetrisch?
94 * Welche Werte für x sind für die Aufgabe nur sinnvoll?
95
96 (%class="border" style="table-layout:fixed; width:100%;"%)
97 | **Prozess** | **Zuordnung:
98 Graph / Funktionsterm**
99 |**Prozess I – Gaming-Display**\\
100 Die **Fläche eines quadratischen Displays** hängt von der **Seitenlänge** ab.|Schaubild A
101 [[image:Funktion g.svg|| width="300" style="float: left"]]
102 |**Prozess II – Energydrink-Effekt**\\
103 Wenn du nur einen kleinen Schluck **Energydrink** trinkst, merkst du fast nichts. Trinkst du aber mehrere Dosen hintereinander, steigt deine **Energie und Aufregung** extrem stark – viel stärker als bei nur einem Schluck.|{{formula}}f(x) = x^2{{/formula}}
104 |**Prozess III – WLAN-Signal**\\
105 Mit wachsendem **Abstand zum Router** wird das **Signal schwächer**, verschwindet aber nie ganz.|Schaubild B
106 [[image:Funktion h.svg|| width="300" style="float: left"]]
107 |**Prozess IV – Helligkeit**\\
108 Je **näher** man an eine kleine Lichtquelle herangeht, desto **heller** erscheint das Licht. Ganz in der Nähe der Lampe wird es sehr stark – fast überwältigend hell.|{{formula}}k(x) = x^{-1}{{/formula}}
109 {{/aufgabe}}
110
111 {{aufgabe id="Einfluss des Exponenten auf das Annäherungsverhalten an die Achsen" afb="III" kompetenzen="K4,K5,K6" zeit="10" quelle="Team KS Offenburg"}}
112 Zwei Potenzfunktionen {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}} und {{formula}}g(x)=x^m{{/formula}} mit ganzzahligen Exponenten haben Schaubilder, die sich der x-Achse annähern.
113
114 (% style="list-style: alphastyle" %)
115 1. Entwickle ein Kriterium, mit dem man entscheiden kann, welcher der beiden Graphen für große {{formula}}x{{/formula}} schneller gegen die x-Achse fällt. Erkläre deine Überlegung.
116 1. Überprüfe, ob dieses Kriterium auch dafür geeignet ist zu entscheiden, welcher der beiden Graphen sich für {{formula}}x\to 0{{/formula}} schneller der y-Achse annähert. Begründe deine Entscheidung.
117 {{/aufgabe}}
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119 {{aufgabe id="Anwendung Potenzfunktion - Stromnetz" afb="III" kompetenzen="K4,K5,K6" zeit="10" quelle="Hartmut Göggerle"}}
120 Dem städtischen Stromnetz wird für t=50 h (Stunden) lang eine Leistung von P=200 W (Watt) entnommen.
121
122 (% style="list-style: alphastyle" %)
123 1. Berechne die Energiemenge, die dabei umgewandelt wird mit Hilfe der Formel E=P*t.
124 1. Eine kWh (Kilowattstunde) kostet ungefähr 35ct. Wie hoch sind die Kosten für 10000 Wh?
125 1. Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der du die Zeit bei gegebener Leistung berechnen kannst.
126 1. Bestimme mit Hilfe der Funktionsgleichung wie viel Stunden bei gleichen Energiekosten eine Leistung von jeweils 25, 40, 50, 100, 250, 500, 1000 W entnommen werden kann? Erstelle dazu eine Tabelle.
127 1. Schätze anhand der Tabelle ab, wie lange eine Leistung von 420 W entnommen werden kann.
128 1. Zeichne den Graphen mit Hilfe der Tabelle (y-Achse: 1cm für 100 W, x-Achse: 1cm für 50h)
129 1. Entnehme dem Graphen den ungefähren Wert der Einschaltdauer für die Leistungen 420 W.
130 1. Berechne den genauen Wert für eine Einschaltdauer von 420 W genau.
131 1. Betrachte die Aufgabenstellungen e), g) und h). Was stellst du fest?
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133 {{/aufgabe}}
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136 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}