Lösung Oberflächenvergleich

Würfel:
\(V=a^3=1000 \mathrm{cm}^3 \Rightarrow a=10\mathrm{cm}\)
\(O=6 \cdot a^2=600\mathrm{cm}^2\)

Kugel:
\(V=\frac{4}{3} \cdot \pi r^3 =1000 \mathrm{cm}^3 \Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4 \pi}} =\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 1000}{4 \pi}} =6,2 \mathrm{cm} \)
\(O=4 \pi \cdot r^2 = 4 \pi (6,2 \mathrm{cm})^2 =483 \mathrm{cm}^2 \)

Zyliner:
\(V=\pi \cdot r^2 \cdot h \quad \text{mit} \quad h=2r \)
\( V=2 \pi r^3\)
\( r=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}=\sqrt[3]{\frac{1000}{2 \pi}}=5,42\mathrm{cm}\)

\( O=2 \pi \cdot r^2+2\pi \cdot r \cdot h \quad \text{mit} \quad h=2r \)
\( O=2 \pi \cdot r^2+2\pi \cdot r \cdot 2r \)
\( O=2 \pi \cdot r^2+4\pi \cdot r^2 \)
\( O=2 \pi \cdot (5,42\mathrm{cm})^2+4\pi \cdot (5,42\mathrm{cm})^2=553,6 \mathrm{cm}^2 \)

Bei gleichem Volumen hat die Kugel die kleinste Oberfläche aller 3 Körper.