Lösung Wachstumsvorgang - Zinseszins

a) Vergleich der Geldbeträge

Berechnung des Geldbetrags beim Modell \(M\):

Vergleich:
\(65.536{,}00,€ > 4.000{,}00,€\)

Feststellung:
Der Betrag ist reichlich größer als die benötigten \(4.000{,}00,€\) für den Führerschein.

Berechnung des Geldbetrags beim Modell \(T\):

Vergleich:
\(656{,}84,€ < 4.000{,}00,€\)

Feststellung:
Der Betrag reicht bei Weitem nicht für den Führerschein.

b) Bestimmung des Wachstumsfaktors

Gegeben ist:
\(B(16) = 1,€ \cdot a^{16} = 4.000{,}00,€\)

Umstellen nach \(a\):

Ergebnis:
Der Betrag von \(1,€\) zur Geburt müsste an jedem Geburtstag um etwa \(68,%\) wachsen.

c) Anfangsbetrag beim linearen Modell

Gegeben ist:
\(T(16) = T(0) \cdot 1{,}5^{16} = 4.000{,}00,€\)

Umstellen nach \(T(0)\):

Ergebnis:
Der Anfangsbetrag müsste etwa \(6{,}09,€\) betragen.

d) Zeitpunkt des Erreichens von 4.000 €

Gegeben ist:
\(M(t) = 1,€ \cdot 2^{t} = 4.000{,}00,€\)

Umstellen nach \(t\):

Ergebnis:
Der Betrag von \(4.000{,}00,€\) wird kurz vor dem \(12\). Geburtstag erreicht.