Zum Inhalt springen
Version 5.1 von Reinhard Ansorge am 2026/02/03 12:10
Zeige letzte Bearbeiter
1 === a) Vergleich der Geldbeträge ===
2 Berechnung des Geldbetrags beim Modell {{formula}}M{{/formula}}:
3
4 {{formula}}M(16) = 1,€ \cdot 2^{16} = 65.536{,}00,€{{/formula}}
5
6 Vergleich:
7 {{formula}}65.536{,}00,€ > 4.000{,}00,€{{/formula}}
8
9 Feststellung:
10 Der Betrag ist reichlich größer als die benötigten {{formula}}4.000{,}00,€{{/formula}} für den Führerschein.
11
12 Berechnung des Geldbetrags beim Modell {{formula}}T{{/formula}}:
13
14 {{formula}}T(16) = 1,€ \cdot 1{,}5^{16} \approx 656{,}84,€{{/formula}}
15
16 Vergleich:
17 {{formula}}656{,}84,€ < 4.000{,}00,€{{/formula}}
18
19 Feststellung:
20 Der Betrag reicht bei Weitem nicht für den Führerschein.
21
22 === b) Bestimmung des Wachstumsfaktors ===
23 Gegeben ist:
24 {{formula}}B(16) = 1,€ \cdot a^{16} = 4.000{,}00,€{{/formula}}
25
26 Umstellen nach {{formula}}a{{/formula}}:
27
28 {{formula}}a^{16} = 4.000{{/formula}}
29
30 {{formula}}a = \sqrt[16]{4.000} \approx 1{,}68{{/formula}}
31
32 Ergebnis:
33 Der Betrag von {{formula}}1,€{{/formula}} zur Geburt müsste an jedem Geburtstag um etwa {{formula}}68,%{{/formula}} wachsen.
34
35 === c) Anfangsbetrag beim linearen Modell ===
36 Gegeben ist:
37 {{formula}}T(16) = T(0) \cdot 1{,}5^{16} = 4.000{,}00,€{{/formula}}
38
39 Umstellen nach {{formula}}T(0){{/formula}}:
40
41 {{formula}}T(0) = \frac{4.000{,}00,€}{1{,}5^{16}} \approx 6{,}09,€{{/formula}}
42
43 Ergebnis:
44 Der Anfangsbetrag müsste etwa {{formula}}6{,}09,€{{/formula}} betragen.
45
46 === d) Zeitpunkt des Erreichens von 4.000 € ===
47 Gegeben ist:
48 {{formula}}M(t) = 1,€ \cdot 2^{t} = 4.000{,}00,€{{/formula}}
49
50 Umstellen nach {{formula}}t{{/formula}}:
51
52 {{formula}}2^{t} = 4.000{{/formula}}
53
54 {{formula}}t = \log_{2}(4.000) \approx 11{,}97{{/formula}}
55
56 Ergebnis:
57 Der Betrag von {{formula}}4.000{,}00,€{{/formula}} wird kurz vor dem {{formula}}12{{/formula}}. Geburtstag erreicht.