BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

1  Äquivalenzumformungen  (2 min) 𝕃

Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!

☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
☐ Addieren von x auf beiden Seiten
☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer Zahl ungleich 0
☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer beliebigen Zahl
☐ Multiplizieren beider Seiten mit x
☐ Dividieren beider Seiten durch eine Zahl ungleich Null
☐ Dividieren beider Seiten durch eine beliebige Zahl
☐ Dividieren beider Seiten durch x

2  Aussagen  (5 min) 𝕃

Gib, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.

1. Jede Gleichung hat eine Lösung
2. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
3. \(2=0\) ist eine Gleichung
4. Aus \(x=0\) folgt \(L= \{\} \)

3  Prüfen der Lösung  (2 min) 𝕃

Prüfe, ob \(x=0\) oder \(x=1\) eine Lösung der Gleichung ist!

4  Lösen von linearen Gleichungen  (17 min) 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

5  Lösungsvielfalt  (6 min) 𝕃

Es ist folgende Gleichung gegeben:

Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung für jede Zahl, die für  🖤 eingesetzt wird, lösbar ist. Untersuche die Anzahl an Lösungen.

6  Ungleichungen lösen  (7 min) 𝕃

1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50€ pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Personen die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat?
2. Ermittle die Lösung grafisch und rechnerisch \(-2x+3<5\)

7  Richtig oder falsch?  (2 min) 𝕃

Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
\(\frac{x}{y} = \frac{1}{4}\). 

☐ \(x\) muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
☐ \(y\) ist das Vierfache von \(x\), weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
☐ \(x\) ist dreimal so groß wie \(y\), weil 4 – 1 = 3.
☐ \(y\) darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.

8  Definitionsmenge  (3 min) 𝕃

Gib die Defintionsmenge der Brüche an.

9  Hauptnenner  (7 min) 𝕃

Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
  

1. \(\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} \)
2. \(\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} \)
3. \(\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} \)
4. \(\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} \)
5. \(\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} \)

10  Überprüfen der Lösung  (7 min) 𝕃

  
Begründe, ob der angegebene Wert für x  eine Lösung der Gleichung ist!

1. \(\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} \) 
2. \(\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} \) 

11  Rechenschritte  (5 min) 𝕃

Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.

Azra
\(\frac{1}{4x-3}=3 \)
\( D = \{\frac{3}{4}\}\)
Alex
\( 1 = 12x - 9 \)
\( D = \mathbb{R}\)

12  Bruchgleichungen  (12 min) 𝕃

Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
  

1. \(\frac{10}{x}=5 \) 
2. \(\frac{10}{x+1}=5 \) 
3. \(\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} \)   
4. \(\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} \)  
5. \(\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 \)  

13  Bruchgleichungen ergänzen  (15 min) 𝕃

Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung  
\( \frac{3x + ☐}{x+1}=1\) genau die Lösung
   ◦ \( x = -0,5 \)
   ◦ keine Lösung
   ◦ unendlich viele Lösungen
  besitzt.
  

14  Zinsen  (5 min) 𝕃

Um die Jahreszinsen  \( Z \) (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
\( Z = \frac{K \cdot p}{100} \)
\( K \): eingesetztes Kapital in €
\( \frac{p}{100}\): Zinssatz

1. Bestimme, die jeweils nach \(p\) und \(K\) umgeformte Formel.
2. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
      Gib hierzu eine Formel an.

15  Geschwindigkeit  (3 min) 𝕃

Die Geschwindigkeit \( v \) kann mit der Formel \( v = \frac{s}{t} \) berechnet werden, wobei \( s \) die zurückgelegte Strecke und \( t \) die vergangene Zeit ist.
Bestimme jeweils die nach \( s \) und \( t \) umgeformte Formel.

16  Trapez  (10 min) 𝕃

Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand \( h\) voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit \( a \), die kürzere mit \( c \) bezeichnet werden.

  

1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit \( a \),\( c \) und\( h \).
2. Der Flächeninahlt \( A \) des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für \( A \)an.
3. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel \( 2 \cdot \frac{A}{a+c} \) berechnen kann.
4. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.

17  Bremsweg  (18 min) 𝕋  𝕃

Der Bremsweg \( s \) in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel \( s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} \), wobei \( v \) die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in \( \frac{km}{h} \) beschreibt.
In der Physik würde man den Bremsweg \( s \) mit der Formel \( s = \frac{v^2}{2a} \) berechnen, wobei \( v \) in \( \frac{m}{s} \) angegeben wird und \( a \) eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei \( 3 < a < 5 \).
  

1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von \( 50 \frac{km}{h}\) zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
2. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für \( a = 4 \)
3. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.